Funktionen spielerisch auffrischenRückblicke, die verbinden

Wer hat den Durchblick beim Funktionen-Puzzle? Ordne Term, Situation, Wertetabelle und Graph richtig dem Funktionstyp zu! Danach kann mit Funktionsgraphen gespielt werden – bringen Sie Ihre Schüler alle gut auf einen Stand.

Funktionen-Puzzle: Ordne Term, Situation, Wertetabelle und Graph richtig zu!

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Funktionen Puzzle

Funktionen Puzzle: Wer ordnet Term, Graph, Tabelle und Situation richtig zu?

Mit Funktionen ein Gespenst zeichnen und verändern

Funktionen untersuchen: Erstelle das Gespenst in einem Funktionenplotter. Lasse es lächeln, Haare haben und ...

Facetten von Funktionen beim Einstieg in die Oberstufe 

Der Abschluss der Sekundarstufe I stellt für die persönliche Schullaufbahn der Schülerinnen und Schüler eine Zäsur dar. Die gewohnte Klassenstruktur wird meist zugunsten eines Kurssystems aufgelöst und neue Gruppenfindungsprozesse treten in Gang. Teilweise findet ein Schulwechsel statt (Ortswechsel, Wunsch eines passenderen Kursangebots, Gerüchte über „einfachere“ Schulen, Abitur mit erweitertem Realschulabschluss …). 
Wie können wir Lehrkräfte hier dem Anspruch der Durchlässigkeit der Bildungswege gerecht werden? Zum einen gilt es, sich auf die Heterogenität der Lerngruppe hinsichtlich der unterschiedlichen fachlichen Voraussetzungen einzustellen. Zum anderen wird in der Oberstufe neben dem Ziel einer vertieften Allgemeinbildung vor allem auch das Ziel einer allgemeinen Studierfähigkeit und damit einer stärker wissenschaftspropädeutischen Grundbildung angestrebt. Dabei geht es konkret „[…] um die Beherrschung eines fachlichen Grundlagenwissens als Voraussetzung für das Erschließen von Zusammenhängen zwischen Wissensbereichen, von Arbeitsweisen zur systematischen Beschaffung, Strukturierung und Nutzung von Informationen und Materialien“. Ferner stehen „Lernstrategien, die Selbständigkeit und Eigenverantwortlichkeit sowie Team- und Kommunikationsfähigkeit unterstützen“, im Fokus (KMK 2013, S. 5). Für den Mathematikunterricht kommt häufig noch eine weitere Neuerung hinzu: Digitale Werkzeuge in Form von Computerprogrammen (Funktionensoftware oder Computeralgebra) oder Handheld-Geräten (z. B. GTR- oder CAS-Rechner) sind vielerorts verpflichtend zu Beginn der Oberstufe einzuführen.
Diese Umstellungen sind mit Unsicherheiten verbunden, bergen aber auch Chancen. So können zu Beginn der Oberstufe zentrale fachliche Inhalte aus der Sek. I im Sinne des Spiralprinzips aufgegriffen, als Einstieg in die Arbeit mit digitalen Werkzeugen genutzt und auf einer neuen Ebene wiederholt und vernetzt werden. Hierdurch soll allen Schülerinnen und Schülern die Gelegenheit gegeben werden, die Thematik in einem neuen Blick zu sehen. Die folgenden drei Aufgabenbeispiele geben dazu Anregungen.

Den Blick weiten – Funktionen wiederholen

Die oft übliche Wiederholungsphase „grundlegende Kenntnisse zu Funktionen aus der Sek. I“ zu Beginn der Oberstufe, sollte nicht im primär instruktiven Schnelldurchgang verschiedene Rechentechniken und -verfahren (etwa zur Nullstellenberechnung usw.) auffrischen. Fundierte Begriffsbildung, Verstehen, Reflexion und konstruktive Selbsttätigkeit dürfen nicht zu kurz kommen. Ansonsten langweilen sich leistungsstarke Schülerinnen und Schüler tendenziell, während für leistungsschwache die Wiederholung nicht ausreichend auf ein tiefgreifendes Verstehen fokussiert, um Konzepte nachhaltig zu verknüpfen und zu festigen. 
Wichtig ist in der Wiederholungsphase, bekannte Fehlertypen im Bereich des Funktionalen Denkens im Sinne einer Diagnose im Blick zu behalten und ggf. zu thematisieren (vgl. Nitsch 2014, Busch 2015). An dieser Stelle möchten wir besonders auf das häufig auftretende Phänomen der Übergeneralisierung linearer Zusammenhänge („alles ist linear“) eingehen (De Bock u. a. 2007). Im Rahmen der „GTR NRW“-Studie (Klinger u. a. 2015) mit über 3000 Zehntklässlern zeigten 10 % bis hin zu 75 % der Schülerinnen und Schüler dieses Fehlermuster – je nach betrachteter Testaufgabe. (Auf der Grundlage der Erkenntnisse der Fehlertypen und der Items dieser Studie ist das folgende Funktionenpuzzle entstanden, das auf unterschiedliche Weise in der Einstiegsphase der Oberstufe genutzt werden kann.) 

Aufgabenformat Funktionenpuzzle

Die Arbeit mit dem Funktionenpuzzle (vgl. Download) zeigt, wie mit einer reflektierenden Wiederholung konzeptuelles Wissen gefördert und auch dem wissenschaftspropädeutischen Anspruch der Oberstufe genüge getan werden kann: Lineare und quadratische Funktionen werden gleichzeitig betrachtet mit dem Ziel, die bisher eher separaten Inhaltsbereiche unter einem gemeinsamen und verbindenden Blick zu wiederholen. Die unterschiedlichen mathematischen Darstellungen (Text, Graph, Tabelle, Term) sollen verbindende innermathematische Strukturen bewusst machen, z. B. die Bedeutung von Parametern, eher statische Betrachtung der Zuordnung einzelner Werte oder dynamische Betrachtungen der Veränderungen. 
In einer einfachen Variante können die einzelnen Felder des Funktionenpuzzles ausgeschnitten und zum Zusammensetzen an eine Schülergruppe gegeben werden. Differenzierend können einzelne Felder weggelassen werden, die dann selbstständig zu füllen sind. So würde in der Zeile zu linearen Funktionen die Angabe der Situationsbeschreibung ausreichen, um die anderen Felder zu konstruieren.
Die verschiedenen Darstellungen von Funktionen sind Schülerinnen und Schülern in der Regel geläufig. Allerdings ist selten ein übergreifendes Verständnis, eine Nutzung als Problemlösestrategie oder damit verbunden ein Bewusstsein für Vor- und Nachteile der verschiedenen Repräsentationen ausgebildet – diese können in der Wiederholung herausgearbeitet werden. Als weiterer Aspekt können die Wechsel zwischen den Repräsentationen thematisiert werden (Arbeitsblatt Funktionen untersuchen, Aufgabe 1, vgl. Download). Die Lernenden erweitern dadurch ihre Vorstellung zum Funktionsbegriff und vertiefen entsprechende Grundvorstellungen. Dieses Wissen kann später bei der Erweiterung der Funktionenklassen auf Potenz- und Exponentialfunktionen wieder aufgegriffen werden. 
Mit der parallelen Erfassung der verschiedenen Darstellungen werden auch verschiedene Zugangs- und Darstellungsweisen thematisiert und die Schülerinnen und Schüler können ihre individuellen Präferenzen reflektieren. Hierbei ist es sinnvoll, eine Funktionensoftware auf dem Computer oder einem Handheld zur Kontrolle und zum Generieren von Beispielen zu nutzen. Diese Aufgabe kann auch gut im Rahmen des Einstiegs in die Rechnernutzung eingesetzt werden, dann müssten jedoch weitere Hinweise für den spezifischen Rechner gegeben werden. 

Funktionsarten inhaltlich verbinden, Analogien aufzeigen

Für lineare und quadratische Funktion sollten auch übergreifende Zusammenhänge untersucht werden, wie die graphische Bedeutung des Absolutglieds sowie die Beschreibung der horizontalen Verschiebung des Funktionsgraphen durch den Term (x – d) (Aufgabe 2). Auch die Thematisierung von Grundvorstellungen zu Funktionen passt in diesen Zusammenhang: Wie hängen bei jeder Funktionsklasse globale Eigenschaften, wie zum Beispiel der Verlauf des Graphen in der Gesamtheit, dem kovarianten Verhalten (also der Art der Veränderung) zusammen? 

Unterstützen und differenzieren mit digitalen Werkzeugen

Digitale Werkzeuge können die integrierende Wiederholung gut unterstützen. Ein Beispiel ist die Aufforderung, vorgegebene Bilder mit Graphen auf dem Bildschirm zu erzeugen (Aufgabe 3, vgl. z. B. Barzel 2000). Schülerinnen und Schüler rufen sich dazu ihre Kenntnisse über lineare und quadratische Funktionen in Erinnerung. Sie sehen durch die Rechnerantwort unmittelbar, ob die eigene Vermutung bzgl. einer Funktion passend ist oder nicht. Bei diesem Aufgabentyp ist das Potenzial zur Differenzierung groß, da Lösungen auf verschiedenen Ebenen denkbar sind. Das eigenverantwortliche Lernen wird bei gleichzeitiger Entlastung der Lehrkraft unterstützt. Aufgabe 3 kann auch gut zu einem Einstieg in das Arbeiten mit einer Funktionensoftware auf Computer oder Handheld genutzt werden, da nur wenige Rechnerbefehle notwendig sind (nur Zeichnen eines Graphen, Erstellen einer Wertetabelle). Die Bedienung der Technik kann dabei ohne Vorbereitung mit der Bearbeitung der Aufgaben erworben werden, wobei ein einfaches Unterstützungssystem, etwa in Form von Hilfekarten, zur Bedienung der verwendeten Software oder Geräte eingesetzt werden kann. 

Schritte zu einer eigen­verantwortlichen Lernkultur

Die vorgestellten Aufgaben zeigen exemplarisch, wie ein differenzierender Unterricht unter hoher Eigenständigkeit der Schülerinnen und Schüler erfolgen kann. Zentral dafür sind die Ermöglichung individueller Zugänge und die Förderung aktiv-konstruktiver Selbsttätigkeit. Schülerinnen und Schüler können so an eine neue Lernkultur mit höherer Eigenverantwortung herangeführt werden. 

Literatur

Barzel, B. (2000). Bilder schaffen mit Graphen. – In: mathematik lehren, Heft 102, S. 12 – 15.
Barzel, B./Möller, R. (2001): About the Use of the TI-92 for an Open Learning Approach to Power Functions. – In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 33(1), S. 1– 5.
Busch, J. (2015): Graphen „laufen“ eigene Wege. Was bei Funktionen schiefgehen kann – In: mathematik lehren, Heft 191, S. 30 – 32. 
De Bock, D./Van Dooren, W./Janssens, D./Verschaffel, L. (2007): The Illusion of Linearity: From Analysis to Improvement. Springer.
Klinger, M./Thurm, D./Barzel, B. (2015): Evaluation der Rahmenbedingungen und Wirksamkeit einer DZLM-Fortbildungsreihe zum GTR auf Schülerebene. – In: Linneweber-Lammerskitten, H. (Hrsg.): Beiträge zum Mathematikunterricht 2015. WTM, Münster.
Nitsch, R. (2014): Schülerfehler verstehen: Typische Fehlermuster im funktionalen Denken. – In: mathematik lehren, Heft 187, S. 8 – 11.
KMK (2013): Vereinbarung zur Gestaltung der gymnasialen Oberstufe in der Skundarstufe II. Online (Stand 1.3. 2015) unter www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/1972/1972_07_07-Vereinbarung-Gestaltung-Sek2.pdf

Dieser Beitrag erschien 2015 in mathematik lehren, Heft 192, S. 34 – 37.

Downloads

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