7. – 13. Schuljahr

Hans Walser

Würfel auf Ecke

Kann ein Würfel auf einer Ecke stehen? Oder anders gefragt: Ist das Foto in Abb. 1 echt?
Spiel mit Quadraten
Dazu zunächst einige zweidimensionale Überlegungen (Abb. 2 ). Das Quadrat in Abb. 2a ist in einem stabilen Gleichgewicht. Das Quadrat in Abb. 2b ist nicht im Gleichgewicht. Es hat „Übergewicht, wie der Volksmund sagt. Der Schwerpunkt befindet sich nicht senkrecht über dem Auflagepunkt. Aufgrund der Schwerkraft wird es in die Position von Abb. 2a kippen. Das Quadrat in Abb. 2c ist in einem labilen Gleichgewicht. Beim leisesten Lüftlein fällt es um.
Nun runden wir die Ecken ab gemäß Abb. 3 . Den Abrundungskreis habe ich so gewählt, dass die blauen Dreiecke in der Abb. 3b gleichseitig sind (Könnte man das auch anders machen?). Wir haben also im Schwerpunkt vier blaue Winkel zu 60° und vier rote Winkel zu 30°. Das Winkelverhältnis blau zu rot ist 2 zu 1. Dieses Winkelverhältnis können wir auch am Rand des Kreises der Abb. 3a ablesen. Zwei Drittel seines Umfanges ragen aus dem Quadrat heraus. Das restliche Drittel ist für die Abrundung zuständig.
Mit abgerundeten Quadraten sieht es nun aus wie in Abb. 4 . Das abgerundete Quadrat in Abb. 4a ist in einem stabilen Gleichgewicht. Das abgerundete Quadrat in Abb. 4b ist nicht im Gleichgewicht. Der Schwerpunkt befindet sich nicht senkrecht über dem Auflagepunkt. Wegen der Schwerkraft wird es in die Position der Abb. 4a kippen.
Das abgerundete Quadrat in der Abb. 4c steht zwar im Unterschied zur Abb. 2c nicht genau „über Eck, aber es ist im Gleichgewicht: Der Schwerpunkt befindet sich senkrecht über dem Auflagepunkt. Es ist ein sogenanntes indifferentes Gleichgewicht. Wir können das abgerundete Quadrat noch ein bisschen drehen, und es ist immer noch im indifferenten Gleichgewicht. In welcher Position ist das abgerundete Quadrat in einem labilen (oder nur halblabilen?) Gleichgewicht?
Da das Winkelverhältnis blau zu rot gleich 2 zu 1 ist, haben wir also in einem Drittel aller denkbaren Fälle ein indifferentes Gleichgewicht und in zwei Dritteln aller denkbaren Fälle entweder direkt ein stabiles Gleichgewicht (wie wahrscheinlich ist dies?) oder aber ein Ungleichgewicht, aus welchem das abgerundete Quadrat in eine stabile Gleichgewichtslage kippt.
Wie ist es, wenn wir die Quadrat-ecken mit Viertelkreisen abrunden (Abb. 5 )?
Spiel mit Würfeln
Der Spielwürfel entsteht aus einem regelmäßigen Quader (alle Kanten gleich lang) durch Abrunden der Ecken (und Kanten) mit einer Kugel, welche die Kantenmitten berührt der sogenannten Kantenmittelkugel, vgl. Abb. 6 .
Sprachliche Feinheiten
Wir haben hier, so nebenbei, ein sprachliches Problem. Im Deutschen wird das Wort Würfel sowohl für den Spielwürfel (mit abgerundeten Ecken und Kanten) wie auch für den regelmäßigen Quader mit scharfen Ecken und Kanten verwendet. Die englische Sprache ist da differenzierter: cube ist der regelmäßige Quader (Kubus), dice der Spielwürfel. In der deutschen Sprache wird der Text jetzt halt etwas schwerfällig, da wir die beiden Bedeutungen des Wortes Würfel auseinanderhalten.
Verhältnisse berechnen
Die Kantenmittenkugel liegt zwischen der Inkugel und der Umkugel des regelmäßigen Quaders. Wie verhalten sich die drei Radien, die drei Oberflächen und die drei Volumen dieser drei Kugeln?
Und noch eine Frage: Warum wurde beim Abrunden des Quadrates (Abb. 3) nicht mit dem Kantenmittenkreis gearbeitet?
Der Spielwürfel im Foto (siehe Abb. 1) ist im indifferenten Gleichgewicht, wenn der Würfel auf einer der acht roten gekrümmten „Spickelflächen der Abb. 6 aufliegt.
Der Rest ist Rechnung: Den Flächeninhalt dieser acht Spickelflächen können wir indirekt berechnen, indem wir die sechs „Kalottenflächen (das sind die in Abb. 6a aus dem regelmäßigen Quader herausragenden Teile der Kantenmittenkugel) berechnen und von der gesamten Kantenmittenkugel-oberfläche abziehen. Für die Berechnung setzen wir die Kantenlänge des regelmäßigen Quaders gleich 2. Die...

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