5. – 8. Schuljahr

Esther Brunner

Warum so und nicht anders?

Vom Aufbau spezifischer Begründungskompetenzen

Mathematisches Argumentieren gehört zu den zentralen Kompetenzen, die alle Schülerinnen und Schüler erwerben sollen. Beim Aufbau dieser anspruchsvollen Kompetenz helfen Strategien zum Suchen, Finden und Formulieren von Zusammenhängen und selbst gefundenen Begründungen.
Suchen finden begründen
Die Schülerinnen und Schüler einer Klasse (5./6. Jahrgang) arbeiten individuell oder zu zweit an einer Begründungsaufgabe:
Eine Begründungsaufgabe:Was passiert, wenn du zwei ungerade Zahlen addierst? Warum passiert das? Versuche, zu begründen!Passiert das gleiche, wenn du drei ungerade Zahlen addierst? Warum oder warum nicht?Findest du eine Regel für dieses Muster?Hinweis: Erkläre möglichst genau und ausführlich! Halte alle deine Überlegungen fest (auch Skizzen, Notizen, Farben usw. sind erlaubt).
Anschließend halten sie ihre Überlegungen fest, um sie später der Klasse präsentieren zu können. Zunächst geht es darum, den Zusammenhang zu erkunden, ein allgemeines Muster zu suchen und zu finden, um dieses anschließend zu begründen. Beim Suchprozess kommen verschiedene Problemlösestrategien zum Einsatz (z.B. Bruder/Collet 2011), beim Begründen hingegen sind Strategien zum Suchen und Finden von Zusammenhängen (Kasten 1, vgl. Pólya 1969) und zum Formulieren von Begründungen (Kasten2, vgl. Stylianides 2016) nötig.
Kasten 1:Strategien zum Aufdecken eines Zusammenhangs
Kasten 1:Strategien zum Aufdecken eines Zusammenhangs
  • Suchen von Beispielen
  • Suchen von Gegenbeispielen
  • Verallgemeinern: Gilt etwas nicht nur für den Einzelfall, sondern für die ganze Klasse von Fällen?
  • Analogien bilden: Untersuchungen an ähnlichen, bekannten Fällen
  • Variation der Voraussetzung(en) z.B. durch Untersuchen eines Spezialfalls
  • Vereinfachen und Reduzieren der Voraussetzung(en)
  • Vollständige Induktion: Beginn mit der kleinsten Zahl (Induktionsanfang) und die logische Übertragung auf den nächsten Fall (Induktionsschritt)
Kasten 2:Möglichkeiten zum Formulieren eines Zusammenhangs
Kasten 2:Möglichkeiten zum Formulieren eines Zusammenhangs
  • Linguistisch: erzählter Zusammenhang
  • Physisch repräsentiert: zeigen durch eine konkrete Handlung
  • Zeichnung/Skizze: grafische Darstellung, z.B. durch Markierungen, Pfeile, grafische Elemente. Der gefundene Zusammenhang wird inhaltlich-anschaulich dargestellt.
  • Tabelle: z.B. durch eine zweispaltige Darstellung von Einzelfällen und Ergebnis
  • Symbolische Darstellung: z.B. durch eine Gleichung mit Zahlenbeispielen oder algebraisch. Der gefundene Zusammenhang wird entweder mit Beispielen oder formal-deduktiv dargestellt.
Zusammenhänge suchen und finden
Die folgenden Beispiele aus der Klasse zeigen unterschiedliche Vorgehensweisen. Anna, eine Fünftklässlerin, stellt ihren Mitschülerinnen und Mitschülern ihre Arbeit vor (Abb.1 ): „Ich habe das mit verschiedenen Beispielen ausprobiert und da geht es immer, erklärt sie. Sie hat den Aufgabentext an wenigen Beispielen umgesetzt, das Muster gerade Zahl als Resultat einer Summe von zwei ungeraden Zahlen erkannt und als Behauptung formuliert. Ihre Behauptung stützt sie durch ihre geprüften Beispiele ab, sie verifiziert sie daran. Damit bleibt die Behauptung aber auch an diese Beispiele gebunden und ist nicht allgemein begründet, denn ob nicht doch ein Zahlenbeispiel existieren könnte, für das die Behauptung nicht gilt, bleibt offen. Die Suche nach Gegenbeispielen (Falsifikation) fehlt. Streng genommen leistet Anna noch keine Begründung. Die Lehrerin kann dies aufnehmen und nach Beispielen aus einem anderen Zahlenraum fragen oder herausfordern, die Behauptung durch Gegenbeispiele zu widerlegen, also zu falsifizieren.
Sandro, ebenfalls ein Fünftklässler, beginnt auch mit einem Beispiel (Abb. 2 ), versucht aber im Gegensatz zu Anna, das grundlegende Muster zu begründen. Er erklärt: „Ich habe zuerst nur ein Beispiel gemacht und aufgeschrieben, dass das Resultat...

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