4. – 5. Schuljahr

Joke Torbeyns, Lieven Verschaffel (aus dem Englischen übersetzt von Maximilian Pohl)

Differenzen überbrücken: Subtrahieren durch Addieren

Neue Belege zur Effektivität der Strategie des Ergänzens beim Subtrahieren

Die Subtraktion im Zahlenbereich bis 1000 wird in den ersten Klassen der Grundschule eingeführt. Trotz des häufigen und intensiven Trainings im Laufe der ersten vier Schuljahre haben zahlreiche Schülerinnen und Schüler am Ende ihrer Grundschulzeit Schwierigkeiten bei mehrstelligen Subtraktionsaufgaben: Sie wählen zur Lösung oft ineffiziente Strategien.
Aus den verschiedenen Strategien zur Subtraktion mehrstelliger Zahlen kann zunächst zwischen mentalen Berechnungsstrategien (Kopfrechnen oder halbschriftliches Rechnen, bei dem die nicht-standardisierten Teilschritte aufgeschrieben werden) und standardisierten schriftlichen Algorithmen unterschieden werden. Eine zweite Unterscheidung bezieht sich auf die Operation an sich, die den jeweiligen Lösungsprozess charakterisiert: Wird tatsächlich subtrahiert (z.B. 6415=6410  5= 545 = 49) oder addiert (z.B. wenn statt 6415= die Tauschaufgabe 15+=64 gelöst wird, etwa 15 + 45 = 60, 60 + 4 = 64, 45 + 4 = 49). Die Operationen werden in diesem Beitrag in solcher Weise thematisiert. Dabei betrachten wir insbesondere mentale Berechnungen (Kopfrechnen und in Teilen auch halbschriftliches Vorgehen).1
Direkte Subtraktion und Ergänzen im Vergleich
Subtraktionsaufgaben mit mehrstelligen Zahlen können über zwei mentale Berechnungsstrategien gelöst werden: durch direkte Subtraktion und durch Ergänzen (Subtraktion-durch-Addition) (Selter u.a. 2012). Bei der direkten Subtraktionsstrategie beziehen sich Lernenden auf die Operation, also die Subtraktion, um die Aufgabe zu lösen: Sie ziehen den Subtrahenden direkt vom Minuenden ab (zum Beispiel wird 843567 gelöst, indem man 843500607 rechnet). Im Gegensatz dazu wird beim Ergänzen die Addition angewendet, um die Differenz zu berechnen: Man addiert vom Subtrahenden zum Minuenden (zum Beispiel wird 843567 bestimmt, indem man 567+33+200+43 rechnet, also ist die Lösung 33+200+43=276).
Es wird angenommen, dass die Strategie des Ergänzens insbesondere bei Subtraktionsaufgaben mit einer geringen Differenz zwischen dem Minuenden und dem Subtrahenden sehr effizient ist, wie beispielsweise bei 812786 oder 796784 (vgl. Blöte u.a. 2000, Torbeynsu.a. 2009). Begründet wird dies zum einen mit der geringen Anzahl der Lösungsschritte bei solchen Aufgaben und zum anderen mit der relativen Einfachheit dieser Lösungsschritte an sich (vgl. Abb. 1 ). Trotz der angenommenen Effizienz der Ergänzen-Strategie bei Subtraktionsaufgaben mit geringer Differenz wird diese Strategie heute in vielen Ländern im Mathematikunterricht kaum thematisiert (Selter u.a. 2012). Im Gegensatz dazu wird die direkte Subtraktion als der Standardansatz gelernt und geübt, um symbolische Subtraktionsaufgaben zu lösen.
Dies ist auch in Flandern (Belgien) der Fall: Ab der dritten Klasse üben Schülerinnen und Schüler Subtraktionsaufgaben mit mehrstelligen Zahlen im Zahlbereich bis 1000. Die mentale Standardmethode für diese Art von Subtraktionen ist die schrittweise bzw. halbschriftliche direkte Subtraktionsstrategie: Schülerinnen und Schüler lernen, zuerst die Hunderter, dann die Zehner und schließlich die Einer des Subtrahenden von dem ungetrennten Minuenden zu subtrahieren, wie im oben gegebenen Beispiel der direkten Subtraktion.
Erst am Ende der Unterrichtsreihe,  wenn die Standard-Lösungsstrategie (direkte Subtraktion) gelernt und intensiv geübt wurde,  wird den Schülerinnen und Schülern ein kurzer Einblick in andere direkte Subtraktionsstrategien gewährt, den sogenannten „cleveren direkten Subtraktionsstrategien,  die an die numerischen Merkmale der Aufgaben angepasst sind. Ein Beispiel einer solchen „cleveren Strategie ist die Kompensationsstrategie, bei der man zuerst den Subtrahenden...

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