1. – 13. Schuljahr

Anselm Lambert

Argumentieren lernen am Paar Sehnensatz und Höhensatz

„Die Aufgaben sollen [] auch [] auf die Fertigkeit im Schließen und Beweisen Wert legen [] heißt es schon in den allgemeinen Grundsätzen der preußischen Richtlinien für den mathematischen Unterricht von 1925 (vgl. Lietzmann 1926, S. 262), und auch heute ist mathematisches Argumentieren wieder ein herausgehobenes Lernziel.
Im Unterricht spielen dabei unterschiedliche Schlussfiguren eine Rolle, etwa die Transitivität von Implikationen wenn aus einer Aussage A die Aussage B folgt und aus B die Aussage C, dann folgt C aus A oder der implikative Ringschluss, der zur Äquivalenz von Aussagen führt wie bei der Satzgruppe des Pythagoras.
Wenn aus einer Aussage A eine Aussage B folgt, können wir A als Verallgemeinerung von B auffassen. So ist z. B. der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras. Wenn nun A Verallgemeinerung von B ist und umgekehrt B auch Verallgemeinerung von A ist, so sind A und B äquivalent. Diesen interessanten Fall finden wir etwa beim Aussagenpaar Sehnensatz (S) und Höhensatz (H).
Sehnensatz: Schneiden sich zwei Sehnen in einem Kreis, so ist das Produkt der Längen der Abschnitte der einen Sehne gleich dem Produkt der Längen der Abschnitte der anderen Sehne.
Höhensatz: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Höhe gleich dem Produkt der Längen der Hypotenusenabschnitte.
Wir erhalten damit also eine gute Gelegenheit zur Reflexion mathematischer Argumentation: Sehnensatz und Höhensatz sind äquivalent, obwohl beide Beweisrichtungen für sich allein genommen zunächst suggerieren, der eine Satz sei ein Spezialfall des anderen.
Vom Sehnensatz zum Höhensatz
Beginnen wir mit Aus S folgt H, formelfrei geometrisch. In Wikipedia (9.8.2018) ist nachzulesen, dass der Sehnensatz den Höhensatz verallgemeinert: „Wählt man die beiden Sehnen nämlich so, dass eine von ihnen dem Durchmesser entspricht und die andere auf ihr senkrecht steht, so bilden deren Endpunkte mit den Endpunkten des Durchmessers nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und die Aussage des Sehnensatzes entspricht in dieser Konfiguration der des Höhensatzes von Euklid. Genau(er) genommen wird hier geschlossen: Die Aussage des Sehnensatzes entspricht im beschriebenen Spezialfall der Aussage des Höhensatzes, und es werden dafür zwei zueinander achsensymmetrische Dreiecke mit daher gleicher relevanter Höhenlänge gebildet. Aus dem Sehnensatz folgt also der Höhensatz, er verallgemeinert diesen.
Bei Wikipedia finden wir in der Bildunterschrift (vgl. Abb. 1 ) auch die weitergehende Behauptung, beide Sätze seien sogar äquivalent was dort aber nicht begründet wird.
Vom Höhensatz zum Sehnensatz
Für die Äquivalenz fehlt uns noch die Rückrichtung Aus H folgt S. Erfreulicherweise ist auch dieser Schluss formelfrei geometrisch über den Satz des Thales zu bewältigen. Wir verlassen dazu „nur die Ebene und treten in den Raum ein erfrischend divergenter Ansatz.
Tatsächlich erweist sich dann der Sehnensatz als Spezialfall des Höhensatzes: Die Kugel, die den gegebenen Kreis als einen Großkreis hat, und die Lotgerade auf die Kreisfläche im Schnittpunkt der beiden Sehnen schneiden sich in zwei (symmetrisch liegenden) Punkten. Diese bilden mit den gegebenen Sehnen jeweils zwei nach dem Satz des Thales rechtwinklige Dreiecke mit gemeinsamer Höhe. Die Höhenquadrate der beiden Dreiecke sind damit auch gleich und nach dem Höhensatz ebenso die Produkte der Längen der mit den jeweiligen Hypotenusenabschnitten identischen Sehnenabschnitte. Aus dem Höhensatz folgt also umgekehrt auch der Sehnensatz, er verallgemeinert diesen. Damit sind (H) und (S) gegenseitige Verallgemeinerungen also äquivalent.
Übrigens: Wir haben den Sehnensatz in diesem Zusammenhang ohne die üblichen, in vielen Lehrplänen leider nicht mehr vorgesehenen, Ähnlichkeitsbetrachtungen (Schupp 1998, S. 154 f.) begründet, nämlich als eine innermathematisch...

Weiterlesen im Heft

Vorteile im Abo

Exklusiver Online-Zugriff auf die digitalen Ausgaben der abonnierten Zeitschrift
Print-Ausgabe der abonnierten Zeitschrift bequem nach Hause
Zusatzvorteile für Abonnenten im Online-Shop genießen