7. – 8. Schuljahr

Anselm Lambert

Didaktische Reduktion in der Stochastik

Worum geht es im Kern?

Markus und Melissa streiten sich. Beide waren bisher immer sehr gut in Mathe. Nun haben wir mit einem neuen Thema begonnen: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es geht um die Frage des Wurfs zweier Münzen, auf einer Seite Wappen und auf der anderen Seite Zahl. Ich frage: „Sollte man darauf wetten, dass beide Münzen das Gleiche zeigen? Dies löst heftige Diskussionen in der Klasse und besonders zwischen den beiden aus.
Stochastik ist kontraintuitiv
Markus argumentiert, dass es genau drei gleichermaßen zu berücksichtigende Fälle gibt: „Beide Münzen zeigen Wappen; beide Münzen zeigen Zahl; eine Münze zeigt Wappen und die andere Münze Zahl. Fertig! Klar wette ich darauf, dass beide Münzen das Gleiche zeigen. Meine Chancen stehen dann 2:1 für mich. Ha! Gewonnen!
Melissa hält dagegen: „Wenn ich die Münzen nacheinander werfe, sieht das aber ganz anders aus! Die erste Münze zeigt Wappen oder Zahl und ebenso die zweite. Ich habe also vier mögliche Fälle: (Wappen, Zahl), (Zahl, Zahl), (Wappen, Wappen), (Zahl, Wappen). Es ist ein reines Glücksspiel: Dass beide Münzen das Gleiche zeigen, kommt ebenso oft vor wie, dass beide Unterschiedliches zeigen.
Markus kontert: „Aber wir werfen doch zwei Münzen gleichzeitig und nicht nacheinander!
Melissa souverän: „Genau, aber das ist völlig egal. Die Münzen wissen das ja nicht.
Markus retour: „Du sagst es. Die wissen das ja gar nicht.
Eine unbefriedigende Pattsituation: Das gleiche Argument begründet scheinbar zwei völlig unvereinbare Schlüsse. Wer hat denn nun die Situation mathematisch passend erfasst? Jetzt hilft nur noch ein Experiment oder besser zwei , um die unterschiedlichen Vorhersagen auf den Prüfstand zu stellen. Markus wirft zwei Münzen gleichzeitig und notiert seine Ergebnisse in einer Tabelle; Melissa wirft jeweils eine Münze zweimal hintereinander. Je länger sie werfen, desto mehr gleichen sich ihre Ergebnisse an: Etwa 25 % für zweimal Wappen und ebenso für zweimal Zahl sowie etwa 50 % für zwei unterschiedliche Wurfergebnisse.
Melissa hatte also Recht: Es ist ein reines Glücksspiel. Und Markus begreift Wurf für Wurf immer mehr, dass er sich mit seiner doch so naheliegenden Vermutung getäuscht hat.
Stochastik ist kontraintuitiv. Wir irren uns da anfänglich gern und glauben die tatsächlich passenden, stochastischen Modelle erst wirklich, wenn wir uns selbst experimentell von ihrer Treffsicherheit überzeugt haben. Zum Trost sei festgehalten, dass wie in DIE ZEIT vom 18.11.2004 zu lesen u.a. auch Paul Erdo˝s, einer der größten Mathematiker des 20. Jahrhunderts und ein Pionier bei der Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Primzahltheorie, bei der Lösung eines berühmten stochastischen Problems, des sogenannten Ziegenproblems (vgl. Jahnke 1997), zunächst völlig daneben lag und erst durch eine Simulation überzeugt werden konnte.
Didaktische Reduktion auf den Kern einer Situation
Was also tun beim Unterrichten von Stochastik? Bei allen Fragestellungen, die wir in den Unterricht einbringen, sollten wir uns zunächst den stochastischen Kern bewusst machen und die Situation entsprechend reduzieren. Der zweifache Münzwurf ist bereits eine solche reduzierte Problemstellung. Woraus besteht nun der stochastische Kern dieser Fragestellung? Eine Münze ist ein Laplace-Zufallsgenerator darauf komme ich gleich zurück. Die hier betrachtete Situation hat ihren Ursprung in der an Fehlvorstellungen reichen Geschichte der Stochastik.
Würfelsummen durch Münzwurf verstehen
Die Entwicklung der mathematischen Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde durch die folgende Fragestellung des Lebemannes Chevalier Antoine Gombaud de Méré (1607 – 1684) an den Philosophen und Mathematiker Blaise Pascal (1623 – 1662) stark vorangetrieben: „Ist es beim Wurf dreier Würfel wirklich gleichwahrscheinlich, in der Summe 11 bzw. 12 zu erhalten? Es gibt schließlich jeweils sechs Fälle.
Che...

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