1. – 13. Schuljahr

Jürgen Richter-Gebert

Symmetrie und Muster

Kunstvolle Mathematik virtuell und mit der Hand

Symmetrisch ist ein Gebilde dann, wenn man es irgendwie verändern kann, und am Ende das Gleiche erhält, womit man begonnen hat. Diese wunderschöne allgemeine Definition von Symmetrie, die sich auf den Nobelpreisträger Richard Feynman und den Mathematiker Herrmann Weyl zurückverfolgen lässt, beschreibt Symmetrie als eine Operation, die „keinen Effekt hat.
Stellen wir uns ein Blatt Karopapier vor (unendlich ausgedehnt in alle Richtungen), so hat dies sehr viele Symmetrien. Setzt man die Spitze eines Bleistifts in die Mitte eines Karokästchens und dreht das Blatt darunter um 90°, so geht das Karomuster komplett in sich selbst über. Eine Symmetrie liegt vor. Das Gleiche passiert mit der Drehung um 180°, oder um 270°, mit Verschiebungen um ganzzahlige Kästcheneinheiten, mit Drehungen um Eckpunkte und Kantenmitten, und mit Spiegelungen entlang ganz vieler Achsen (welche alle?). Ganz schön viele Symmetrieen hat so ein unendliches Blatt Karopapier.
Man nennt die Gesamtheit all dieser Symmetrieoperationen die Symmetriegruppe des Musters. (Mathematisch gesehen bilden diese das, was man eine „Gruppe nennt: Hintereinanderausführung von Symmetrien ist wieder eine Symmetrie, es gibt ein neutrales Element: „Nichts-tun, und zu jeder Operation gibt es eine inverse Operation.)
Jedes sich ständig wiederholende Muster in der Ebene besitzt eine solche Symmetriegruppe. Und hier schlägt die Mathematik voll zu. Ein Ergebnis von Evgraf Fedorov aus dem Jahre 1891 besagt: Sobald ein Muster Verschiebesymmetrien in zwei verschiedene Richtungen aufweist, gehört die Symmetriegruppe zu einer von nur 17 sogenannten Ornamentgruppen. Abb. 1 zeigt den gleichen Schnörkel wiederholt nach Regeln von 4 verschiedenen Symmetriegruppen (vgl. Frohn 2017, Behrends 2019). Angefangen mit einer einfachen Wiederholungsregel, bei der es nur Verschiebungen gibt, bis zu einem komplexen Muster.
iOrnament-App
Die iOS App iOrnament ermöglicht es, Erfahrungen mit solchen Symmetriegruppen zu sammeln (vgl. Kasten iOrnament). Die Idee ist simpel: Man wählt eine der 17 Symmetriegruppen und einen Zeichenstift (Farbe, Stiftdicke) und zeichnet einfach drauflos. Die App wiederholt die gezeichneten Striche nach den Regeln der ausgewählten Symmetrie. So einfach dies klingt, so vielfältig sind die damit möglichen Erfahrungsbereiche. Von Krikelkunstwerken bis hin zu sich komplex verschlingenden kunstvollen Mustern ist alles möglich. Es folgen einige Einsatzszenarien in steigender Komplexität.
iOrnament
iOrnament
Das kann die App
iOrnament ist eine App zum Zeichnen symmetrischer ornamentaler Muster. Die App enthält weitreichende Zeichenmöglichkeiten und ein interaktives Mathematik Tutorial.
Die Zusatz-App iOrnament Crafter ermöglicht (unter anderem) das Erstellen dreidimensionaler ornamentaler Papiermodelle. Kosten: 4,49 €
Hier gehts zur App:
iOrnament Instagram Seite: http://instagram.com/iornamentapp
Einfach loslegen
Ab 1. Klasse und auch beliebig älter. Material: iOrnament App.
Beginnt man in iOrnament zu zeichnen, so wiederholt das Programm die gezeichneten Linien. schnell entstehen Strukturen sowohl von ästhetischem, wie auch von mathematischem Reiz. Die erste Grunderfahrung in der App liegt im einfachen symmetrischen Malen. Dies bietet für jede Altersgruppe einen eigenen Reiz. An dieser Stelle sollte man nicht unterschätzen, dass selbst in sehr frühen Klassenstufen, das Konfrontiertwerden mit symmetrischen Strukturen auf einer präformalen Ebene bereits ein rudimentäres Verständnis von Symmetrie und geometrische Strukturen vermittelt. Die App ermöglicht hier Erfahrungen, die bei weitem über das übliche Erleben von Symmetrie bzw. Spiegelung hinausgehen.
Das planvolle Erstellen einer Figur kann schnell zur Herausforderung werden, bei der insbesondere die Symmetrieeigenschaften einer Symmetriegruppe gut verstanden werden müssen....

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