7. – 13. Schuljahr

Hans-Stefan Siller

Intransitivität bei Spielen

In der Mathematik wird von einer Relation gesprochen, wenn Beziehungen zwischen Elementen einer Menge bestehen. Meist sind diese (mathematischen) Beziehungen transitiv anders als etwa in sozialen Netzwerken (Heitzer 2017). Auch bei einigen (Strategie-)Spielen ist ein Umdenken notwendig, wie etwa bei „Schere-Stein-Papier: Hier findet man grundsätzlich immer eine Option, die besser als die beiden anderen ist Stein gewinnt gegen Schere, verliert gegen Papier usw. (Abb. 1 ). Die Eigenschaft der Transitivität ist also nicht erfüllt; man spricht von einer sogenannten intransitiven Anordnung. Auch bei Spielen mit den hier vorgestellten „besonderen Würfeln ist dies der Fall.

Intransitive Würfelspiele
Die Spielregeln (klassisch):
Spieler 1 wählt einen Würfel, danach nimmt sich Spieler 2 einen der übrigen Würfel. Nun wird gleichzeitig gewürfelt. Gewonnen hat, wessen Würfel die höhere Augenzahl erzielt.
Wenn es sich um „normale, ungezinkte Spielwürfel handelt, ist die Wahl des Würfels nicht weiter spannend. Es geht aber auch anders!
Efrons Würfel
Die vier Würfel in Abb. 2 , benannt nach ihrem Erfinder, dem Statistiker Bradley Efron, machen das Spiel durch ihre Augenzahlen spannend: A ={4, 4, 4, 4, 0, 0}, B = {3, 3, 3, 3, 3, 3}, C = {6, 6, 2, 2, 2, 2}, D = {5, 5, 5, 1, 1, 1}.
Welcher Würfel hat hier die höheren Gewinnchancen im Vergleich zu einem anderen?
Lässt sich ein ähnliches Bild wie in Abb. 1 erstellen?
Miwinsche Würfel
Ein weiterer Würfelerfinder ist der Wiener Physiker Michael Winkelmann. Seine Miwinschen Würfel bilden ein Set aus drei Würfeln, das durch folgende Vorgaben charakterisiert ist (vgl. z.B. Winkelmann 2012):
  • Die Augenzahlen sind aus der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
  • Die Summe aller Augenzahlen eines Würfels beträgt immer 30.
  • Die Summe gegenüberliegender Augenzahlen ergibt immer einen der Werte 9, 10 oder 11.
  • Der Mittelwert der Augenzahlen jedes Würfels beträgt 5.
Abb. 3 zeigt ein Set Miwinsche Würfel. Auch hier lässt sich fragen:
Welcher Würfel hat hier die höheren Gewinnchancen im Vergleich zu einem anderen?
Bei den drei Miwinschen Würfeln gibt es immer einen, der mit der Wahrscheinlichkeit 17 : 36 gegen den anderen (gewählten) gewinnt. Anders als bei Efrons Würfeln, ist hier auch ein Unentschieden oder ein Pasch möglich.
Erkundungen im Unterricht
Wenn sowohl zumindest eine Kreuztabelle und/oder ein Baumdiagramm zum Einsatz kommen, können die Schülerinnen und Schüler recht selbstständig die beiden Pfadregeln spielerisch erarbeiten oder festigen.
Dazu kann man entweder die oben genannten Spielregel vorgeben oder folgende Variante (vgl. Roth, S. 3.65):
Beide Spieler wählen je einen Würfel und spielen dann fünf Runden. Gewonnen hat, wer die meisten Runden gewonnen hat.
Die Miwinschen Würfel erlauben auch weitere Erkundungen:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen „Pasch (alle drei oder zwei von drei Würfeln zeigen dieselbe Zahl)?
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel eine bestimmte Zahl zeigen, beträgt 1136 Ein bestimmter Pasch hat die Wahrscheinlichkeit 136 ein beliebiger Pasch 14
Übrigens: Die Augenzahlen der Würfel in Abb. 3 sind genau die Zeilen des Magischen Quadrats. Aus dessen Spalten lassen sich ebenfalls Miwinsche Würfel erstellen (https://www.miwin.com/miwinsche_Wuerfel_html/miwin_Wuerfel_2.html).
Literatur
Heitzer, J. (2017): Relationen in sozialen Netzwerken. In: mathematik lehren, Ausgabe 202, Friedrich Verlag, S. 27-30.
Roth, J. (o. J.): Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechung. http://www.juergen-roth.de/lehre/did_stochastik/material.html (letzter Zugriff 23.06.2019)
Winkelmann, M. (2012)...

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