11. – 13. Schuljahr

Reimund Vehling

Die Ableitung einer Funktion und rollende Kugeln

Im Laufe der Zeit habe ich Aufgabensequenzen zusammengestellt, die sich sowohl nach einer Einstiegsphase in eine Unterrichtseinheit als auch später zur vernetzten Wiederholung und Prüfungsvorbereitung eignen. Bei den hier vorgestellten Aufgaben geht es nach der Einführung in die Differentialrechnung um eine erste (komplexe) Anwendung. Es lassen sich damit Begriffe festigen, neue Begriffe (Tangente, Extrempunkte, Wendepunkte) behutsam einführen sowie Vernetzungen zur vorherigen Unterrichtseinheit (Verschiebung, Streckung) aufzeigen.
Die rollende Kugel
Konkret geht es um die Bewegung einer rollenden Kugel, die sich nach einem vorgegebenen Zeit-Weg-Gesetz beschrieben durch eine ganzrationale Funktion vierten Grades über einen (GeoGebra-)Bildschirm bewegen soll (vgl. Arbeitsblatt 1 u. 2 ). Später kommt sogar eine zweite Kugel hinzu (s. Abb. 1 ).
Die Problemstellung habe ich damit motiviert, dass für Computerspiele solche Fragen relevant sind. Natürlich dann deutlich komplexer, aber im Kern geht es immer darum, einige Bewegungen auf dem Bildschirm nach vorgegebenen Regeln zu steuern. Nur durch Vorgabe der Zeit-Weg-Funktion lassen sich dann viele Fragestellungen lösen. Ein Vorteil dieses Vorgehens: Die erzielten Ergebnisse konnten wir am „Realmodell mit GeoGebra kontrollieren. Es beeindruckte die Schülerinnen und Schüler schon: Ihre Vorhersagen wurden durch die GeoGebra-Simulation bestätigt (Datei RollendeKugel_2).
Zugegeben, die Länge der Aufgabe kann durchaus kritisch gesehen werden. Mein Ziel war es hier, mit dieser Aufgabe neben der Hinführung zu neuen Begriffen und der Vernetzung mit (hoffentlich noch) bekannten Begriffen gleich zu Beginn Fragestellungen zu präsentieren, die in vielen Anwendungen und Prüfungsaufgaben immer wieder gestellt werden. Der Kontext ändert sich, aber die Fragestellungen sind (fast) identisch.
Es ist wichtig, immer wieder Gemeinsamkeiten hervorzuheben und den roten Faden sichtbar zu machen. Schaut man sich zum Beispiel einige Abituraufgaben an, so wird teilwiese „viel Sand gestreut. Die Schwierigkeit besteht darin, diesen Sand zu entfernen, um an den mathematischen Kern der Aufgabe zu gelangen. Ist das geschafft, führen oft Standardverfahren wie das Lösen von Gleichungen (mit/ohne Rechnereinsatz) zum Ziel.
Vor der Bearbeitung der Aufgaben muss den Schülerinnen und Schülern die Bedeutung des Graphen der Funktion deutlich sein. Hierfür eignet es sich besonders, den Graphen der Funktion „zu gehen (s. Brauner 2008). Ein Schüler, eine Schülerin sollte sich also zu dem Graphen der Funktion bewegen. Die Umsetzung ist auch in einer 11. Klasse nicht immer einfach. Während die Lernenden bei ihren Beschreibungen nach prägnanten Worten suchten, wurden schon die Begriffe „Hochpunkt, „Tiefpunkt und „Wendepunkt von mir genannt, ohne an dieser Stelle auf eine genaue Definition einzugehen. Erkannt wurde aber ein Vorteil der Einführung von Begriffen: Die Beschreibung eines Sachverhaltes kann damit einfacher und klarer werden.
Darstellungswechsel sind für ein tiefergehendes Verständnis fundamental. Ich habe mich bei dieser Aufgabe dafür entscheiden, meinen Schülerinnen und Schülern als Hilfen verschiedene Abbildungen zur Verfügung zu stellen, die jeweils einen Lösungsweg bzw. eine mögliche Lösung aufzeigen (s. Abb. 2 ). Diese „Lösungshinweise ohne Worte waren auch bei den Präsentationen der Ergebnisse eine wertvolle Hilfe.
Den Lernenden steht ein grafikfähiger Taschenrechner zur Verfügung, der auch eingesetzt werden sollte. Dabei spielte die Dokumentation des Rechnereinsatzes eine wichtige Rolle. Das muss geübt werden, ist also auch ein Unterrichtsgegenstand, für den Zeit eingeplant und eine mögliche Struktur bereitgestellt wird: Eine Dokumentation von Ergebnissen beginnt mit dem mathematischen Ansatz (bzw. der Idee). Erst danach werden der Bearbeitungsweg mit dem GTR und das Ergebnis (Rechnerausgabe)...

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