1. – 13. Schuljahr

Tobias Rolfes, Christian Fahse

Zufallsphänomene erfassen

Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Variabilität

Stochastik ist ein spannendes, aber anspruchsvolles Themengebiet für den Schulunterricht. Ein verständnisorientierter Umgang mit Zufallsphänomen kann nicht allein durch kalkülhaftes Rechnen bewirkt werden. Daher ist es wichtig, im Stochastikunterricht zu experimentieren, zu simulieren und datenbasiert zu argumentieren.

Welches Thema des Mathematikunterrichts hat im nicht-beruflichen Alltag die größte Relevanz? Wie oft haben Sie für Alltagsprobleme eine Gleichung aufgestellt und anschließend nach x aufgelöst? Oder einen Kongruenzsatz angewandt? Und dabei gehören Sie als Leserin oder Leser dieser Zeitschrift zu der Minderheit, die das Vorwissen hätte, diese Themen anzuwenden.
Hingegen haben Sie ziemlich sicher Entscheidungen unter Unsicherheit getroffen: Ob Sie sich für Ihren Asienurlaub impfen lassen, ob Sie einer Kontrastmitteluntersuchung zustimmen oder ob Sie ärztliche diagnostische Tests durchführen lassen und wie mit einem gegebenenfalls positiven Testergebnis umzugehen ist. Auch Sie haben wahrscheinlich gelesen, dass sich die Lesekompetenz in PISA 2015 verbessert hat (von 508 auf 509), die Mathematikkompetenz hingegen zurückgegangen ist (von 514 auf 506). Aber ab wann sind Unterschiede in der Punktzahl überhaupt bedeutsam? Bei einem Standardfehler von ungefähr 3 Punkten (vgl. OECD 2017, S. 428) waren die damaligen Schlagzeilen wie „Lesekompetenz verbessert sich leicht statistisch nicht haltbar. Um nicht falsche (politische) Schlussfolgerungen zu ziehen, sind angemessene Interpretationen der PISA-Ergebnisse aber wichtig.
Gerade in einer Demokratie ist ein aufgeklärter Umgang der Bürgerinnen und Bürger mit Datenmaterial essenziell. Denn zur Information der Bevölkerung werden in diversen Kontexten unterschiedlichste Daten verwendet, die grundsätzlich stochastischen Schwankungen unterworfen sind. Nicht nur zu den PISA-Studien findet man in der Presse Aussagen über (jährliche) Veränderungen von Zahlen, die aber selten unter dem Aspekt einer signifikanten Relevanz geprüft werden. Ein Sicherheitsexperte führte 2016 den Rückgang der tödlichen Bergunfälle von 137 auf 131 Personen (im Vergleich zum entsprechenden Vorjahreszeitraum) tatsächlich auf Präventionsmaßnahmen oder Wetterbedingungen zurück (vgl. dpa 2016). Bei entsprechender stochastischer Bürgerbildung müsste dies für jeden als übertrieben optimistisch zu erkennen sein.
Wir werben daher für die These, dass Stochastik für den Alltag aller Lernenden besonders wichtig ist und in der Mittelstufe auf keinen Fall vernachlässigt werden darf (neben funktionalen Zusammenhängen und umgrenzten Themen wie Größen und Einheiten, Prozentrechnung, Kopf- und vor allem die meist vernachlässigte Überschlagsrechnung). Dies steht im deutlichen Gegensatz zur Unterrichtswirklichkeit, in der bei Zeitknappheit oft die Stochastik entfällt und Jugendliche als stochastische „Analphabeten die Schule verlassen. Gerade für den Umgang mit Zahlendaten ist der verständige Umgang mit den Begriffen Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Variabilität wesentlich. Daher basiert das Heftkonzept auf diesen drei zentralen Begriffen. Aber wie soll man insbesondere die letzten beiden Begriffe in der Mittelstufe behandeln? Um ein Vorziehen von Themen aus der Oberstufe geht es nicht. Die Lösung heißt: Weniger kalkülhaft rechnen, dafür viel experimentieren, simulieren und datenbasiert argumentieren.
Wahrscheinlichkeit
Der Wahrscheinlichkeitsbegriff ist grundlegend, aber vielschichtig und nicht einfach zu fassen. Im Schulunterricht haben sich mit dem theoretischen Ansatz nach Laplace und dem frequentistischen Ansatz zwei Zugänge zum Wahrscheinlichkeitsbegriff etabliert (Kasten 1).
Kasten 1: Wahrscheinlichkeitsbestimmung
Kasten 1: Wahrscheinlichkeitsbestimmung
Theoretischer Ansatz nach Laplace
(klassischer Ansatz)
Falls alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt
P(Erei...

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