10. – 13. Schuljahr

Christian Fahse

Wurzel-n-Gesetz, Prognose- und Konfidenzintervall

Mit Simulationen Zusammenhänge zugänglich machen

Manchmal gibt es einfache und effektive Zugänge, die es noch nicht in die reguläre Unterrichtspraxis geschafft haben, obwohl sie schon lange bekannt sind. Hier zwei Beispiele, von denen ich uns wünsche, dass sie bald in jedem Lehrwerk zu finden sind.
1n-Gesetz in Klasse 9/10
Wenn Stochastik vielleicht das Gebiet ist, das im Alltag die meiste Anwendung findet bzw. finden sollte, ist es unerlässlich, dass nicht nur Lernende des Gymnasiums dieses Gesetz kennen. Als Vorwissen ist nur der empirische Wahrscheinlichkeitsbegriff erforderlich.
1n-Gesetz
Bei n unabhängigen Versuchen weicht die relative Erfolgshäufigkeit nur selten mehr als 1n von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit ab.
Was heißt das konkret? Wenn es bei Wahlen z.B. um absolute Mehrheiten geht und eine Koalition knapp bei 50% steht (wie 2009), dann nützt eine Befragung von 1024 Wählern nichts, und sei sie noch so repräsentativ:
11000 0,03 entsprechen nur
±3%Genauigkeit. Viele Medienberichte und Meldungen kann man leicht mit diesem Gesetz kritisch unter die Lupe nehmen.
Ist es denn überhaupt möglich, das 1n-Gesetz bereits in der Mittelstufe zu verwenden, ohne Binomialverteilung?
Ja. Die Lösung heißt Simulation. Die Lerngruppe legt für verschiedene Versuchsanzahlen n jeweils ca. 1000 Versuchsreihen (bei beliebiger, aber nicht zu extremer Erfolgswahrscheinlichkeit, 14< p < 34 an. Die relative Anzahl der Erfolge wird in einem Histogramm gesammelt. In diesem bestimmt man den Bereich, in dem ca. 95% aller relativen Häufigkeiten zu finden sind. Diese Bereiche werden von der gesamten Lerngruppe für n = 9, 25, 50, 100, 200, 400 gesammelt siehe Abb. 1 und die Online-Datei Simulation_Wurzel_n.xlsx.
Selbst wenn man das Gesetz aus der Varianz der Binomialverteilung herleitet, sollte man den Oberstufenkursen die Erfahrung dieser Simulation gönnen. Die Simulationsergebnisse für die halbe Intervallbreite liegen sehr nahe an 1n(z.B. 19=13≈ 0,3375 in Abb. 1).
Dies beruht selbst auf dem
1nGesetz: Wie oben gesehen, ist
bei n ≈ 1000 lediglich mit etwa1n≈ 3% Abweichung zu rechnen. (Bei kleinem n sollte p allerdings zwischen 0,4 und 0,6 liegen).
Die Idee, das Gesetz nicht erst in der Sek. II zu behandeln, ist alles andere als neu (immer noch sehr lesenswert dazu ist Riemer 1991).
Prognose- und Konfidenzintervall (Sek. II)
Prognose- und Konfidenzintervall sollten in der Oberstufe zwei Seiten ein- und derselben Medaille sein. Wobei die Medaille hier eine Tabelle ist, die bereits seit Jahren in den Anhängen der Schulbücher zu finden ist, aber nicht entsprechend genutzt wird: die kumulierte Binomialverteilung.
Wie viele Erfolge wird es geben, wenn ich die Erfolgswahrscheinlichkeit kenne? Anstatt eine konkrete Zahl...

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