7. – 13. Schuljahr

Benno Grabinger

Würfelsummen mit Überraschung

Galilei reloaded: Ein Problem, viele Zugänge

Das Würfelspiel zählt zu den ältesten Glücksspielen. Mithilfe archäologischer Funde kann das Würfelspiel 5000 Jahre zurückdatiert werden. Mit welcher Leidenschaft gewürfelt wurde, zeigen die Zitate im Kasten. König Ludwig IX. von Frankreich verbot 1255 seinen Beamten das Würfelspiel und die Anfertigung von Würfeln, um exzessivem Glücksspiel Einhalt zu gebieten.
Kasten: Wissenswert
Kasten: Wissenswert
Das Würfelspiel betreiben sie sonderbarerweise wie ein ernsthaftes Geschäft, und zwar mit solch blinder Leidenschaft, wenn es um Gewinnen oder Verlieren geht, dass sie, nachdem sie ihr Hab und Gut verloren haben, mit dem letzten entscheidenden Wurfe um ihre Freiheit und ihre Person spielen.
Über die Germanen, von Publius Cornelius Tacitus (55 – 115 n.Chr.), Germania, 24
Manche würfeln, manche saufen,
andre lärmen, schreien, raufen.
Derer, die ein Spiel begannen,
ziehet mancher nackt von dannen;
andere sich ein Wams gewinnen,
andre gehen im Sack von hinnen.
Keiner denkt der Todesstunde,
Bacchus gilt die Würfelrunde.
Carmina Burana 1220/30 Trinklied 196
Carmina Burana, Trinklied 196, übertragen ins Deutsche von Carl Fischer, Quelle: Carmina Burana - Komplett Gedichte des Codex Buranus Lateinisch - Deutsche Ausgabe, Artemis Verlag, Zürich und München 1974
Aus den häufig durchgeführten Würfelspielen ergaben sich auch einige Beobachtungen der Spieler, welche diese nicht zu deuten vermochten. Daher legte der toskanische Herzog Cosimo II. de Medici um 1613 Galileo Galilei das folgende Problem vor: Warum tritt beim Wurf mit drei Würfeln die Augensumme 10 häufiger auf als die Augensumme 9? Das ist auf den ersten Blick unverständlich, denn beide Augensummen lassen sich auf sechs unterschiedliche Arten würfeln:
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4
Galilei konnte diesen Fehlschluss aufklären. Seine Erklärung findet sich heute in vielen Schulbüchern. Sein kombinatorisches Argument (s. Abb.1 ) ist aber sicher nicht die Methode, mit der Lernende sich diesem Problem nähern würden. Die Beobachtungen des Herzogs der Toskana entstanden möglicherweise aus einer Vielzahl von durchgeführten Würfelspielen. Dieser, auch für die Schule naheliegende, Ansatz ist das Ausprobieren. Deshalb sollten im Unterricht auch Würfel geworfen werden.
Wirf mit 3 Würfeln. Bilde jeweils die Augensumme, und schreibe auf, wie oft die Augensummen 9 und 10 auftreten.
Dabei wird sich allerdings bald herausstellen, dass sich in vertretbarer Zeit keine systematische Tendenz für die Überlegenheit der Augensumme 10 gegenüber der Augensumme 9 erkennen lässt. Offenbar unterscheiden sich die zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten nur wenig und können deshalb mit einem relativ geringen Datenmaterial nicht getrennt werden. Um ein umfangreicheres Datenmaterial nutzen zu können, ist es naheliegend, den Computer als Hilfsmittel zu benutzen. Die im Folgenden beschriebenen Tabellenblätter erstellen nicht die Lernenden, sondern werden von der Lehrkraft bereitgestellt.
Simulation des Augensummenproblems
Mit dem in Abb.2 gezeigten Tabellenkalkulationsblatt lassen sich Würfe mit 3 Würfeln simulieren. Angezeigt werden die Augenzahlen der Würfel sowie deren Augensumme. Durch Aktualisieren des Blattes werden die Würfel erneut geworfen genauere Anleitung siehe Tabellenblatt „Simulation.
Setze die Anzahl der Simulationen zunächst auf 1. Aktualisiere das Tabellenblatt. Was beobachtest du bei den Augensummen?
Erhöht man die Anzahl der Simulationen auf 10, dann werden 10 Würfe mit je 3 Würfeln angezeigt. Außerdem wird eine Tabelle mit den absoluten Häufigkeiten der gewürfelten Augensummen erstellt. Im Beispiel der Abb. 2 wurde die Augensumme 9 zweimal und die Augensumme 10 keinmal gewürfelt. Die oben rechts angezeigten relativen Häufigkeiten für 9 und 10 sind...

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