7. – 8. Schuljahr

Susanne Schnell

weil es halt nicht sicher ist!

Argumentieren mit Wahrscheinlichkeiten

Hannah: „Ich meine eigentlich, dass man ins Fazit schreiben sollte, dass das alles Zufall ist. Man kann gar nichts vorhersagen, es ist einfach Glück!
Nelly: „Doch, man kann schon was vorhersagen, aber nur, wenn man ganz oft würfelt.
Hannah: „Ja, aber sicher ist da nichts!
Diese sinngemäß wiedergegebene Diskussion zwischen zwei Schülerinnen der 6. Klasse nach der Beschäftigung mit einer computergestützten Unterrichtseinheit zum Zufall (siehe Schnell 2014) verdeutlicht, wie viel Potenzial für das Austauschen von Argumenten im Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeit steckt. Dabei haben beide Mädchen dieselbe Beobachtung getroffen, nämlich, dass die relativen Häufigkeiten bei einer hohen Anzahl an simulierten Würfen mit einem Farbwürfel recht stabil zu sein scheinen. Dennoch setzen sie diese Beobachtung argumentativ unterschiedlich ein.
Unsicherheiten laden zum Argumentieren ein
Wahrscheinlichkeiten dienen dazu, Aussagen unter Unsicherheit zu treffen. Dies macht sie „anders als viele andere Inhalte im Mathematikunterricht und sie stellen eine besondere Herausforderung dar. Sie bieten Schülerinnen und Schülern ein geeignetes Feld, unterschiedliche Argumente nachzuvollziehen, zu entwickeln und zu bewerten. Die Unsicherheit bezieht sich dabei sowohl auf die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit („Ist diese Wahrscheinlichkeit überhaupt die ‚richtige? Ist sie angemessen?) als auch auf deren Aussagekraft („Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von 30 % und welche Konsequenzen ziehe ich daraus?).
Unsicherheit bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeiten stellen nur Modelle dar, die auf Grundlage bestimmter Annahmen und Informationen an eine Situation herangetragen werden. Sie können mehr oder weniger zur Situation passen und müssen gegebenenfalls durch andere Modelle ersetzt werden (vgl. Riemer 1991, S. 19).
Zum Beispiel kann man bei einem normalen sechsseitigen Würfel aufgrund der Form annehmen, dass jede Seite eine Wahrscheinlichkeit von 16hat (theoretischer Ansatz). Allerdings bleibt die Unsicherheit, inwieweit die Gleichwahrscheinlichkeit der Seiten eines real existierenden Würfels tatsächlich gilt, da natürlich Abnutzungserscheinungen oder Herstellungsmängel vorliegen können. Hat man Zweifel an der Verwendbarkeit dieser theoretischen Wahrscheinlichkeit, so kann man zum Beispiel die relative Häufigkeit aus der wiederholten Durchführung des Würfelns zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit nutzen (frequentistischer Ansatz).
Dabei ist jedoch die Anzahl der Versuchswiederholungen relevant: Die durchschnittliche Breite der Schwankungen der relativen Häufigkeiten ist umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Anzahl der Wiederholungen (bezeichnet als „1-durch-Wurzel-n-Gesetz, vgl. Riemer 1993). Eine Vervierfachung der Wurfanzahl führt also zur Halbierung der Breite der Streuung.
Zwei gleichlange Versuchsreihen mit dem gleichen Zufallsgerät können auch verschiedene relative Häufigkeiten als Schätzung der Wahrscheinlichkeit liefern. Welche davon nun die „korrekte(re) Wahrscheinlichkeit darstellt, lässt sich vor allem dann nicht entscheiden, wenn die Wahrscheinlichkeit durch theoretische Überlegungen nicht bestimmt werden kann; stattdessen kann das Hinzuziehen weiterer Versuchsreihen genutzt werden, die Schätzung zu verbessern (zum Beispiel, indem das arithmetische Mittel über die Ergebnisse gebildet wird). In Hinblick auf die Grundgedanken der Beurteilenden Statistik, ist die „Möglichkeit verschiedener (manchmal gleichberechtigter, mitunter aber auch verschieden glaubwürdiger) Wahrscheinlichkeiten und damit deren hypothetischen Charakter (Riemer 1991, S. 19) eine wichtige Vorstellung, die von den Lernenden aufgebaut werden sollte.
Unsicherheit in der Aussagekraft der...

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