5. – 13. Schuljahr

Thomas Müller

Unendlich viele Würfelnetze?

Viele Übungen zum Festigen der Raumvorstellung beruhen auf Netzen von Würfeln. Oft wird dabei auf folgende Tatsache hingewiesen: Es gibt elf verschiedene Würfelnetze, die nicht durch Kongruenzabbildungen auseinander hervorgehen. Dies stimmt natürlich, wenn auch ungeschrieben dabei vorausgesetzt wird, dass die Netze nur aus Quadraten bestehen sollen und dass die Verheftungen (=Klebekanten) immer an den Würfelkanten sein sollen. Lässt man diese stillschweigenden Voraussetzungen unberücksichtigt, dann existieren unendlich viele Netze.
Nicht nur aus Quadraten
Als Ausgangsnetz wird das wohl am häufigsten im Schulunterricht verwendete Würfelnetz in Kreuzform gewählt (Abb.1a). Zur Darstellung eignen sich neben Zeichnungen für den Anfangsunterricht besser Bausätze (zum Beispiel Polydron oder Clixi). Wird ein Quadrat durch eine Diagonale in zwei Dreiecke geteilt oder im Bausatzmodell durch zwei Dreiecke ersetzt (Abb.1b) können die Teildreiecke getrennt an anderen Seiten angehängt werden (Abb.1c). So entsteht ein neues Netz (Abb.1d).
Allerdings erfolgt hier die Verheftung nach dem Zusammenfalten (Abb.1e bis Abb.1f) zu einem Würfel nicht nur an Würfelkanten, sondern in diesem Fall auch entlang einer Seitenflächendiagonalen.
Zur Unterscheidung nenne ich im Folgenden die aus gleichen Figuren hier ganzen Quadraten bestehenden Körpernetze „diophantisch (in Anlehnung an die Zahlentheorie für ganzzahlige Lösungsbereiche), während die anderen Netze „nichtdiophantisch heißen sollen.
Nach demselben Prinzip kann aus dem kreuzförmigen Netz (Abb. 2a ) durch Ersetzen der blaugefärbten Teile durch die rotgefärbten (Abb. 2b) ein neues Netz (Abb. 2c) entstehen. Dies erinnert an die sogenannte „Knabbertechnik zum Herstellen von Parkettierungen: Was an einer Seite abgeknabbert wird, muss an der entsprechenden anderen Seite angefügt werden.
Auf die beschriebene Art und Weise können nun unendlich viele Netze gefunden werden. Ein bekanntes diophantisches Netz wird durch Abschneiden von Teilfiguren und Anfügen an anderen möglichen Stellen so verändert, dass das Netz ungewohnte Formen annimmt. Der zusammengefaltete Körper selbst bleibt dabei unverändert. Der Fantasie der Schülerinnen und Schüler bei einem entsprechenden Arbeitsauftrag sind dabei keine Grenzen gesetzt. Und wer weiterforschen mag, kann überlegen: Wie ändert sich eigentlich der Umfang der Netze bei diesem Prozess?
Vom Quadrat zum Tetraeder
Ein weiteres Beispiel für nichtdiophantische Netze beruht auf dem bekannten (diophantischen) Netz eines regulären Tetraeders aus vier gleichseitigen Dreiecken innerhalb eines Parallelogramms (Abb. 3a ). Abschneiden der Hälfte eines der außen liegenden gleichseitigen Dreiecke und Anfügen an der anderen Seite verwandelt das Parallelogramm in ein Rechteck (Abb. 3b). Aus diesem Rechteck lässt sich wieder ein reguläres Tetraeder falten. Eine Verheftung verläuft dann genau längs der Höhe in einem der gleichseitigen Seitenflächendreiecke (Abb. 3c).
Denkt man sich nun das Tetraeder so verzerrt (Abb. 4a ), dass eine Seitenkante vom Mittelpunkt des Körpers aus nach außen verschoben wird und sich die Seitenkanten mitdehnen, so entsteht ein allgemeines Tetraeder (Abb. 4b), eine dreiseitige Pyramide, von der drei Seitenkanten verlängert wurden (Abb. 4b, grün), zwei Kanten aber noch gleichlang wie die des Ausgangstetraeders sind. So kann aus einem quadratischem Blatt Papier etwa aus einer Zettelbox immer ein allgemeines Tetraeder gefaltet werden. Dabei kann natürlich auch die Länge x (Abb. 4c) variiert werden. Auf diese Art erhält man Netze von unendlich vielen Tetraedern aus einem Quadrat. Dasselbe Ergebnis findet sich übrigens auch in (Demaine 2001, Fig 2.23). Allerdings ist dort die Herleitung nicht elementargeometrisch.
Hintergrund
Beide Beispiele sind Sonderfälle des Satzes von Alexandow. Der Mathematiker Alexander Danilowitsch Alexandow hat in den...

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