9. – 13. Schuljahr

ANSELM LAMBERT, WILFRIED HERGET

Ein Kreis im Kreis

Im Laufe eines Mathematiklehrer-Berufslebens sammeln sich so einige Aufgaben an, die nicht in Schulbüchern stehen. Vielleicht sind sie für den alltäglichen Unterricht nicht geeignet für besondere Erlebnisse taugen sie aber sehr gut: eine schöne Spielwiese, und am Ende winkt das Glück einer selbstgefundenen Lösung. Die folgende Aufgabe stammt aus (Schröder o. J.).
Ein Kreis liegt im Innern eines zweiten und berührt diesen. Im Mittelpunkt des äußeren Kreises steht eine Gerade senkrecht auf der Geraden, die durch diesen Mittelpunkt und den Berührpunkt geht. Die Streckenabschnitte der beiden Geraden, die zwischen den beiden Kreisen liegen, haben die Länge 9 bzw. 5. Wie groß sind die Radien der Kreise?
Wie würden Sie da rangehen? Womit würden Sie beginnen? Bitte arbeiten Sie erst einmal selbst für Ihr ganz persönliches Glücksgefühl ...
Strategien und Ansätze
Wie könnte man anfangen? Die Werkzeuge „Zeichne wichtige Punkte ein, „Zeichne Hilfslinien ein und „Führe geeignete Benennungen ein sind hier erfolgversprechend. Doch es gilt dann zu lernen, selbst zu entscheiden, was denn hier relevant und hilfreich sein könnte das macht offen für unterschiedliche Lösungswege.
Erste Überlegungen
Anselm Lambert hat alle bekannten und unbekannten Größen systematisch in die Figur eingetragen (Abb. 1 ) und Gleichungen aufgestellt:
R = 9 + s
R = 5 + S
(R r)2 + S2 = r2
R + s = 2r
Die ersten beiden Gleichungen lassen sich umstellen zu s = R 9 bzw. zu
S = R 5. Nach Einsetzen in die letzten beiden bleiben nur noch die interessierenden Radien als Variablen:
(R r)2 + (R 5)2 = r2
2R 9 = 2r
Das Einsetzen des linearen Ausdrucks in den quadratischen führt nach etwas Rechnerei zur Lösung:
R = 25 und r = 412
Und was lernen wir daraus?
Nimm dir Zeit für eine bewusste Rückschau, betonte schon George Pólya: Eigentlich sind die Variablen s und S überflüssig, denn die beiden zur Lösung führenden Gleichungen wären auch direkt aus der Zeichnung ablesbar. Doch s und S waren hilfreich! Und tapfer wehren wir uns gegen die Versuchung, unsere Schülerinnen und Schüler mit einer im Nachhinein entdeckten Abkürzung zu überfallen.
Es gibt Alternativen
Dieser Weg hier ist nicht der einzige, natürlich: Wilfried Herget sieht S+5=R und 2r + 9 = 2R, also S+5=r+4,5. Das heißt, r=S+0,5 und im rechtwinkligen Dreieck:
S2 + 4,52 = r2.
Einsetzen für r liefert
S2 + 4,52 = (S + 0,5)2 = S2 + S + 0,52,
also S = 4,52 0,52 = 20.
Damit ergibt sich R = 20 + 5 = 25 und r = R 4,5 = 20,5.
Und Roland Schröder schlägt vor, den Satz des Thales ins Spiel zu bringen (Schröder o. J.), und dann mit dem Höhensatz Sehen Sies?
In Abb. 2 ist das Dreieck ABC rechtwinklig in C (Thales). Der Höhensatz liefert (1) h² = p·R. Mit (2) p + 9 = R und (3) h = R 5 gibt das drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Lösungen: p=16, R=25, h=20 und damit r=20,5.
Übrigens
Der Mittelpunkt des inneren Kreises liegt natürlich auf der Geraden durch den Berührpunkt und den Mittelpunkt des äußeren Kreises warum eigentlich?
Literatur
Schröder, R. (o. J.): Denkaufgaben aus der elementaren Geometrie. Online unter

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