10. – 11. Schuljahr

Elisabeth Weber, Katalin Retterath, Christina Bauer (geb. Collet)

Mit Vollgas in die Differenzialrechnung

Das Denken in und Arbeiten mit funktionalen Zusammenhängen ist wichtig im Mathematikunterricht und auch im Alltag. Ein wesentlicher und auch fehleranfälliger Aspekt dabei ist das Änderungsverhalten einer Funk-tion. Deshalb suchten wir anstelle eines Einstiegs aus einer theoretischen Perspektive einen anderen Zugang: Ein aus dem Alltag bekanntes Phänomen, aus dem sich die Frage nach dem Änderungsverhalten quasi von selbst ergibt.
Bei diesem Zugang lässt sich über die absolute Änderung und die Änderungsrate schließlich die lokale Änderungsrate erarbeiten. Die Ableitung wird also konsequent über die Grundvorstellung „Ableitung als lokale Änderungsrate erarbeitet. Diese Grundvorstellung sollte für Schülerinnen und Schüler zur späteren Bearbeitung verschiedener (anwendungsorientierter) Aufgaben abrufbar bleiben. So entstand die Idee, einen Sachzusammenhang zu finden, der es den Lernenden als Ankeraufgabe ermöglicht, eine umfassende Vorstellung von der Ableitung zu entwickeln.
Die Anforderungen an eine solche Ankeraufgabe sind relativ hoch: Sie sollte offen genug sein, mehrere Zugänge ermöglichen, sie sollte mehrere Grunderfahrungen (Winter 1996) berücksichtigen, einen Realitätsbezug aufweisen und für möglichst viele Schülerinnen und Schüler motivierend sein.
Fährt Frau Rasante zu schnell?
Moderne Geschwindigkeitskontrollen könnten Raser besonders intelligent erfassen. Bestimmte Streckenabschnitte mit Höchstgeschwindigkeiten von etwa 80 km/h könnten mithilfe eines GPS-gestützten Messsystems überwacht werden, um so zu ermitteln, ob sich ein Fahrer/eine Fahrerin an die gegebene Höchstgeschwindigkeit gehalten hat. Diese Frage ist der Ausgangspunkt zum Einstieg in die Differenzialrechnung (Arbeitsblatt 1 ). Für den Einsatz dieser Aufgabe spricht, dass der Begriff der „Geschwindigkeit allen Schülerinnen und Schülern sowohl im Sinne der Durchschnittsgeschwindigkeit, als auch im Sinne der Momentangeschwindigkeit vertraut ist.
Absolute und mittlere Änderungsrate
Eine erste intuitive Lösung besteht darin, die Geschwindigkeiten in verschiedenen Zeitintervallen zu berechnen, z.B. im Intervall [50s;100s], und anschließend in Teilintervallen von je 5 Sekunden Länge. Aus der absoluten Änderung der Strecke und der Zeit berechnen die Schülerinnen und Schüler die Durchschnittsgeschwindigkeit:
v = ∆s/∆t, also $$\mathrm{v}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1494 m~ –~ 384 m}}{\mathrm{100 s~ –~ 50 s}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1110 m}}{\mathrm{50 s}}\mathrm{­}\mathrm{=}\mathrm{22,2~ }\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\mathrm{~ =~ 79,92~ }\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$$Die für das Intervall [50s;100s] berechnete mittlere Änderungsrate, wie diese Durchschnittsgeschwindigkeit im späteren Unterrichtsverlauf genannt wird, regt eine Diskussion an, ob Frau Rasante wirklich nicht zu schnell gefahren ist.
Dies motiviert eine intensivere Auseinandersetzung mit den GPS-gestützten Daten und führt die Lernenden schrittweise von der mittleren zur momentanen Änderungsrate. Die mittleren Änderungsraten für die unterschiedlichen 5-Sekunden-Intervalle geben nämlich noch keine Auskunft darüber, wie schnell Frau Rasante zu einem bestimmten Zeitpunkt gefahren ist. Exemplarisch sind in Abb. 1 einige Berechnung der mittleren Änderungsraten für ausgewählte 5-Sekunden-Intervalle dargestellt. Nach diesen Ergebnissen hat Frau Rasante in mehreren Zeitabschnitten die erlaubte Höchstgeschwindigkeit überschritten.
Momentane Änderungsrate: numerischer und geometrischer Zugang
Nun liegt die Frage nahe: Welche maximale Geschwindigkeit hat Frau Rasante wohl erreicht? Zur Beantwortung wird die momentane (lokale) Änderungsrate benötigt. Eine erste Annäherung liefert eine verfeinerte Tabelle mit 1-Sekunden-Intervallen (Online-Material: GeoGebra-Datei Verfeinerte Tabelle).
Eine weitere Verfeinerung ist hier mangels weiterer Messwerte mit realen Daten...

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