7. – 13. Schuljahr

Modellieren mit dem KUMULATOR

Hans-Jürgen Elschenbroich, Günter Seebach
Der KUMULATOR (http://www.kumulator.de) ist eine einfache und intuitive GeoGebra-Lernumgebung zur Modellierung von Wachstumsprozessen und dynamischen Systemen. Es geht dabei nicht darum, Differenzialgleichungen zu ermitteln, sondern es werden nach dem Prinzip „Von der Änderung zu Bestand schrittweise die jeweiligen Änderungen addiert und so der jeweils aktuelle Bestand aufgebaut. Die Änderungen werden also kumuliert. Die Änderungsvorschrift wird dabei als Term eingegeben, in dem auch Variable, z.B. über Schieberegler, auftauchen können (Abb. 1 ).
In vielen Fällen ist die Schrittweite ∆t = 1 angemessen, wenn es nicht um Zeiten, sondern um Iterationsschritte geht. Sie kann aber auch verkleinert werden. Die Bestände erhält man als diskrete Werte, graphisch als Punkte, die man aus optischen Gründen auch durch einen Polygonzug verbinden kann.
Wachstumsprozesse
Änderungsrate ist konstant
Bei Wachstumsprozessen lassen sich vier Grundtypen unterscheiden. Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Änderungsrate konstant ist. In einem Behälter A sind z.B. zu Beginn 10 Liter vorhanden und es kommen pro Zeiteinheit 5 Liter hinzu, also vA = 5. Wir betrachten das Wachstum auf dem Zeitintervall [0; 20] und erhalten lineares Wachstum (Abb. 2 ). Diese Ausgabe erhalten wir graphisch, d.h. ohne expliziten Funktionsterm. Natürlich kann und soll dann durch Eingabe eines Terms überprüft werden, welche Funktion dazu „passt.
proportional zum Bestand
Als Nächstes betrachten wir Änderungsraten proportional zum vorhandenen Bestand. Dies ist die einfachste Form der Rückkopplung, man spricht hier von einem ungestörten natürlichen Wachstum. Wenn z. B. eine Bakterienkultur A zu Beginn 10 Bakterien enthält und pro Zeiteinheit 20% des Bestandes hinzukommen, dann ist also vA = p · A. Das Wachstum ist nun exponentiell (Abb. 3 ). Auch hier kann durch die Eingabe eines Funktionsterms überprüft werden, welche Funktion „passt. Offensichtlich kann solch ein Wachstum nur über kurze Zeit erfolgen, weil sonst jede Schranke überschritten würde.
proportional zum Sättigungsmanko
Naheliegender ist die Annahme, dass eine bestimmte Schranke S nicht überschritten werden kann. Dazu gehen wir davon aus, dass die Änderungsrate nicht mehr proportional zum aktuellen Bestand A, sondern proportional zum noch möglichen ‚Rest, dem sogenannten Sättigungsmanko S A ist. Somit kann die Schranke S nicht überschritten werden. Wenn z.B. auf einer kleinen Insel zu Beginn A = 10 Schafe wild leben und diese Insel Futter für S = 100 Schafe bietet, dann ist die Änderungsrate vA = p · (S A) und wir erhalten für die Modellierung mit beschränktem Wachstum die graphische Ausgabe in Abb. 4 . Hier nimmt der Bestand zwar immer weiter zu, die Zunahme wird aber von Anfang an immer geringer.
proportional in beide Richtungen
In der Realität ist aber eher festzustellen, dass das Wachstum zunächst stark zunimmt und fast exponentiell verläuft, bis es dann nach einer gewissen Zeit eher beschränkt verläuft. Das heißt, die Bestandsfunktion sollte in S-Form verlaufen. Dies wird erreicht, indem die Änderungsrate proportional sowohl zum aktuellen Bestand als auch zum aktuellen Sättigungsmanko angesetzt wird.
Für dieses Wachstum wurde von Pierre François Verhulst 1837 die Bezeichnung „logistisches Wachstum eingeführt, gelegentlich wird es auch organisches Wachstum genannt. Für die Schranke S = 100 und den Parameter p = 0,2 = 20% erhalten wir mit vA = p · (S – A) · A/S auf dem Zeitintervall [0; 40] (Abb. 5 ).
Dies ist ein möglicher Zugang, dabei wird aus Dimensionsgründen durch S geteilt und das p beibehalten. Man findet in der Literatur aber auch den gleichwertigen Ansatz mit der Schranke S = 100 und dem Parameter q = 0,002 = 0.2% und vA = q · (S – A) · A, wo also der Prozentsatz entsprechend geändert worden ist.
In den bisherigen Grafiken wurde ausschließlich der Bestand A angezeigt....

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