11. – 12. Schuljahr

Anja Becher, Hellen Ossmann

Mit Wasserhahn-Applets zur Integralrechnung

Grundvorstellungen vernetzt in fünf Bildern

„Das Integral ist die Fläche unter einer Kurve. so oder ähnlich lauten sehr häufig Schülerantworten auf die Frage: „Was verbinden Sie mit dem Begriff Integral? Im Unterricht werden oft nur die geometrischen Grundvorstellungen (Tangentensteigung und orientierter Flächeninhalt) thematisiert. Aber gerade die nicht geometrischen Grundvorstellungen (momentane Änderungsrate und rekonstruierter Bestand) spielen in zahlreichen Anwendungen aus Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft eine große Rolle.
Verständnisorientierte Zugänge
Um Schülerinnen und Schülern einen verständnisorientierten Zugang zu einem mathematischen Konzept zu ermöglichen, sind folgende drei Aspekte wesentlich:
1. Aufbau eines Verständnisankers, der wesentliche Ideen des Konzepts an einem alltagsnahen Beispiel erfahrbar macht,
2. Aufbau von Grundvorstellungen zum mathematischen Konzept,
3. Vernetzung der neuen Grundvorstellungen untereinander und mit Grundvorstellungen zu verwandten mathematischen Konzepten.
Einstieg in die Integralrechnung
Ein Verständnisanker für die Integralrechnung bietet die Vorstellung, dass ein Gefäß über einen Wasserhahn befüllt wird. Dieses Beispiel steht im Zentrum einer Lernumgebung aus drei GeoGebra-Applets, mit denen die beiden Grundvorstellungen „Integral als Rekonstruktion des Bestands und „Integral als orientierter Flächeninhalt aufeinander und auf den Verständnisanker „Wasserhahn bezogen aufgebaut werden. Diese Grundvorstellungen werden mit den Grundvorstellungen „Ableitung als lokale Änderungsrate und „Ableitung als Tangentensteigung der Differenzialrechnung vernetzt. Dies wird durch die Zusammenschau von vier Funktionsgraphen und der Situation des Wasserhahns zum Befüllen eines Gefäßes in der Mitte unterstützt, die dynamisch aufeinander bezogen sind und mit einem Schieberegler gesteuert werden (Abb. 1 ).
Für verschiedene Änderungsraten können die vier Graphen der Funktionen Zuflussrate f, Wasservolumen F, orientierter Flächeninhalt F und Steigung F ' gleichzeitig oder einzeln angezeigt werden. Mit Hilfe des Schiebereglers „Zeitpunkt wandert auf jedem Graphen ein Punkt mit, dessen Koordinaten farblich hervorgehoben werden. Zu einem festen Zeitpunkt entspricht die Zuflussrate f der Steigung des Graphen „Wasservolumen F und der orientierte Flächeninhalt unter dem Graphen der Zuflussrate f entspricht dem aktuellen Wasservolumen F im Gefäß.
Zugang zum Integral
Vorbereitung im Unterricht
Als Vorbereitung bieten sich Anwendungsaufgaben aus der Differenzialrechnung an, in denen der Zusammenhang zwischen Bestand und Änderungsrate thematisiert wird (z.B. in Abb. 2 die Aufgabe „Sonnenblume aus Dennier 2014, S. 54). Dabei werden sowohl der Graph der Änderungsrate aus dem Graphen der Bestandfunktion entwickelt als auch umgekehrt die Graphen möglicher Bestandsfunktionen aus dem Graphen der Änderungsrate.
Einstieg in die Unterrichtsreihe
Hier hat sich die Vorstellungsübung in Material 1 bewährt, in der Füllvorgänge qualitativ visualisiert werden.
Von der Änderungsrate zum Bestand
Diese Vorstellungsübung lässt sich mit der linken Seite des Applets 2 realistisch veranschaulichen (Abb. 3 ). Zunächst wird nur die Wasserhahnsimulation in der Mitte eingeblendet. Die Lernenden entwickeln dazu selbstständig den Graphen der Zuflussrate und danach den Graphen des resultierenden Wasservolumens im Gefäß. Dieser Zusammenhang wird qualitativ und ohne konkrete Werte an den Achsen erarbeitet. Das Applet dient als Ergebniskontrolle.
Ergänzend dazu bietet Applet 1 eine reale Simulation zur händischen Steuerung des Zu- und Abflusses. Denn selbst konstante Zuflussraten werden real erst durch einen vorangegangenen Auf- oder Abdrehvorgang erreicht.
Vorgegeben ist ein Startvolumen von 3l, wobei das Becken insgesamt 6l fassen kann. Mit einem Schieberegler lässt sich der Zu- und Ablauf...

Weiterlesen im Heft

Vorteile im Abo

Exklusiver Online-Zugriff auf die digitalen Ausgaben der abonnierten Zeitschrift
Print-Ausgabe der abonnierten Zeitschrift bequem nach Hause
Zusatzvorteile für Abonnenten im Online-Shop genießen