9. – 10. Schuljahr

André Henning, Andrea Hoffkamp

Funktionen beschreiben Veränderungen

Steigung und charakteristische Stellen verstehen

Die Klasse der linearen Funktionen ist die erste, die Schülerinnen und Schüler ausführlich kennenlernen. Ein Fokus liegt dabei auf den Kennwerten Nullstelle, y-Achsenabschnitt und Steigung. Der Begriff der Steigung zielt insbesondere auf das Änderungsverhalten funktionaler Zusammenhänge. Hieran anknüpfend, erweitern wir in qualitativer Weise das Konzept der Steigung über die linearen Funktionen hinaus. Einen günstigen Ansatzpunkt liefert die innermathematische Vernetzung mit der Geometrie, wenn man die Veränderung von Flächeninhalten an einfachen geometrischen Figuren funktional betrachtet.
Lineare Funktionen einmal anders betrachtet
Bei der Bearbeitung von Arbeitsblatt 1 stellen die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang zwischen der Änderung des Flächeninhalts und einem linearen Flächeninhaltsgraphen, der den Bestand an Flächeninhalt wiedergibt, her. Sie erfahren, dass die Steigung des Flächeninhaltsgraphen das Änderungsverhalten charakterisiert.
Zusätzlich steht ein dynamisches Arbeitsblatt zur Verfügung (Abb. 1 , Online-Material). Dieses ist flexibel im Unterrichtsverlauf einsetzbar: In der Einstiegsphase lässt sich damit die dynamische Verbindung zur graphischen Darstellung sichtbar machen, oder es wird bei Bedarf als Hilfsmittel genutzt.
In Arbeitsblatt 1 wird die funktionale Abhängigkeit zwischen dem Abstand x und dem überstrichenen Flächeninhalt F(x) (Abb. 1) untersucht. Zunächst wird zu einem Rechteck ein Flächeninhaltsgraph gezeichnet. Dabei repräsentiert das Rechteck mit dem sich verändernden Flächeninhalt die Änderungssicht („Wie ändert sich der Flächeninhalt, wenn man die Länge x verändert?) und der Flächeninhaltsgraph die Bestandssicht („Wie groß ist der „Bestand an Flächeninhalt in Abhängigkeit von der Länge x?). Da sich der Flächeninhalt gleichmäßig verändert, ist der Funktionsgraph ein Geradenabschnitt.
In Aufgabe 3 ist der Flächeninhaltsgraph zu einem weiteren Rechteck gesucht. Wichtig ist hier das Finden geeigneter Versprachlichungen, z.B. „die Zunahme an Flächeninhalt ist größer, weswegen die Steigung größer ist oder noch versierter „pro Längeneinheit kommt mehr Fläche hinzu und die Steigung ist deswegen größer. Die letzte Formulierung ist tragfähig, wenn man später mittlere Änderungsraten und Differenzenquotienten thematisiert.
In Aufgabe 4 wird der umgekehrte Weg vom Bestandgraphen zur Änderungssicht gegangen und in Aufgabe 5 sind dann die Funktionsterme gesucht. Als Hilfsmittel steht das dynamische Arbeitsblatt zur Verfügung (etwa zum systematischen Probieren). Aufgabe 6 erfordert eine Transferleistung: Zu einer aus Rechtecken zusammengesetzten Fläche korrespondiert nun eine aus linearen Funktionen zusammengesetzte Flächeninhaltsfunktion. Hat man verstanden, dass die Steigung mit der Höhe der Rechtecke zusammenhängt, ist das Zeichnen eine leichte Aufgabe. Eine Beschreibung durch Funktionsterme ist schon anspruchsvoller.
Und wie ist das bei anderen Figuren?
Im nächsten Schritt werden aus Rechtecken und Dreiecken zusammengesetzte Figuren betrachtet (Arbeitsblatt 2 ). Die Schülerinnen und Schüler kommen dadurch zu einer differenzierteren Charakterisierung von Änderungsverhalten. Die Flächeninhaltsfunktionen bestehen entsprechend aus linearen und quadratischen Funktionen.
Bei der Figur in Aufgabe 1 geht das Rechteck an der Stelle x = 3 in ein Dreieck über. Bis zur Stelle x = 3 nimmt der Flächeninhalt gleichmäßig zu, nach dieser Stelle nimmt die Zunahme ab, d.h. pro Längeneinheit kommt immer weniger hinzu. Hier sollte sprachlich sorgfältig der Unterschied zwischen dem Bestand an Flächeninhalt und der Veränderung des Flächeninhalts ausgedrückt werden, etwa: „Der Bestand an Flächeninhalt nimmt bis zum Ende zu, aber die Zunahme sinkt.
In Aufgabe 2 liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor. Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten, den...

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