8. – 9. Schuljahr

Irene Grafenhofer, Vanessa Klöckner

Ein Experiment zu Bestand und Änderung

Der Stechheber-Versuch im Mathematikunterricht

Was haben Meerestiere oder der Kölner Dom mit dem Kalkkreislauf zu tun? Warum wird der Kohlenstoffdioxid-Gehalt in der Luft höher? Wie oft müssen Kaffeemaschinen entkalkt werden und mit welchen Mitteln? Solche oder ähnliche Fragen werden in naturwissenschaftlichen Fächern zum Thema Stoffkreisläufe oder Gleichgewichtsreaktionen gestellt. Hierbei werden Bestand und Änderung chemischer Substanzen in Gleichgewichtsreaktionen betrachtet jedoch werden diese Prozesse kaum eingehender mathematisch besprochen.
Eine Gleichgewichtsreaktion beginnt beispielsweise mit einem Anfangsbestand bestimmter Substanzen (A, B), die reversibel miteinander zu den Produkten (C, D) reagieren. Es werden also Prozesse betrachtet, indenen neue Substanzen entstehen und umgekehrt zum Teil wieder in die Ausgangssubstanzen reagieren. Es findet solange ein dynamischer Austausch d. h. eine Veränderung der Substanzen statt, bis sich im Endprodukt (C, D) ein Gleichgewicht eingestellt hat.
Durch die Simulation solcher Reaktionsverläufe ist es möglich, dynamische Modellbildungssysteme im fächerübergreifenden Kontext (Mathematik Chemie) zu mathematisieren und Vorbereitungen für die inhaltliche Auseinandersetzung mit diskreten dynamischen Folgen und dem Grenzwertbegriff zu leisten (Humenberger 2013).
Das Modellexperiment
Im Chemieunterricht wird als Einstieg in das Thema „Chemisches Gleichgewicht oft das sogenannte Stechheber- oder Wasserstands-Gleichgewichtsexperiment erläutert. Dabei wird zwischen zwei Zylindern ein bestimmter Anteil der jeweils vorhandenen Flüssigkeit (z.B. Wasser) hin und her transportiert (s. Arbeitsblatt ). Mit diesem Modellversuch lässt sich exemplarisch das Chemische Gleichgewicht nachvollziehen und beobachten.
Im Mathematikunterricht bietet das in Klassenstufe 8, 9 und 10 erprobte Modellexperiment einen anwendungsorientierten Anlass, Bestand und Änderung im Mathematikunterricht zu thematisieren und Lernende zum Arbeiten mit einfachen Differenzengleichungen anzuregen. Iterative Prozesse können phänomenologisch als Grenzwertbildung einer diskreten Folge analysiert, simuliert und modelliert werden (vgl. Weigand 2016, Greefrath u.a. 2016b). Am Ende werden die erzielten Ergebnisse mit den realen Ergebnissen aus dem Experiment abgeglichen.
Das Experiment im Unterricht
Für das Stechheber-Experiment (vgl. Arbeitsblatt) werden zwei Messzylinder mit gleicher Grundfläche und Stechheber (z.B. Strohhalme, können auch unterschiedlichen Durchmesser haben) benötigt. Einer der Zylinder wird mit Wasser (bei einem Demonstrationsexperiment ggf. gefärbt) gefüllt (100ml Inhalt), der andere bleibt zu Beginn leer (0ml). Dann wird mit Stechhebern (Durchmessser 8mm) Wasser von einem Zylinder zum anderen übertragen: Der Stechheber wird bis auf den Boden des Messzylinders eingetaucht (Abb. 1 ). Durch Verschließen der Stechheberöffnung lässt sich die Flüssigkeit hochheben und in den anderen Zylinder befördern. In gleicher Weise wird gleichzeitig Wasser aus dem zweiten in den ersten Zylinder gefüllt.
Ist die Grundidee des Experiments allen Lernenden klar, können schon erste Fragen diskutiert werden:
→ Was erwartest du, wenn du oft genug Wasser mit dem Stechheber zwischen den Gefäßen (hin und her) transportierst?
→ Würde das gleiche Ergebnis erzielt werden, wenn die Zylinder unterschiedlichen Durchmesser hätten? Oder wenn man bei gleichen Zylindern unterschiedlich große Stechheber benutzte?
Der Koeffizient, der angibt, welcher Anteil des bestehenden Wasservolumens z.B. von Zylinder 1 auf Zylinder 2 übertragen wird, heißt Übertragungskoeffizient. Er spiegelt das Verhältnis des Stechhebervolumens zum Volumen des Messzylinders wider. In unserem Beispiel wird mit Durchmessern von ca. 26mm (Messzylinder) und 8mm (Strohhalm) gearbeitet. Daraus wird ein Übertragungskoeffizient von r2Stechheber:r2Zylin...

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