11. – 13. Schuljahr

Werner Blum, Hans-Jürgen Elschenbroich, Kerstin Krimmel

Das Integral wirklich verstehen

Ein inhaltlich-anschaulicher Zugang zum Integralbegriff und zum Hauptsatz

In der Schule ist oft die einzige Deutung des Integrals die als Flächeninhalt, genauer als Inhalt der vom Graphen der gegebenen Funktion und der ersten Achse im gegebenen Intervall eingeschlossenen Fläche, wobei Flächenanteile unterhalb der ersten Achse negativ zu rechnen sind. Das führt oft zu eingeschränkten Schülervorstellungen, so als sei die Tatsache, dass Integralwerte auch negativ sein können, ein unglückliches Versehen bei der Begriffsbildung, das man bei Flächenberechnungen jeweils mühsam korrigieren muss.
Was ist das Integral?
Die für Anwendungen und das inhaltliche Verständnis des Integralbegriffs wesentliche Grundvorstellung ist allerdings eine andere als die Deutung als Flächeninhalt (vgl. schon Blum/Törner 1983): Das Integral als verallgemeinertes Produkt, d.h. als Grenzwert von Produktsummen aus Funktionswerten und Argumentdifferenzen. Ein Beispiel ist die Arbeit als verallgemeinertes Produkt aus Kraft und Weg. Flächeninhalte sind hierbei auch wichtig und begleiten die Begriffsbildung permanent, sie sind aber nur eine (universelle) Veranschaulichung und nicht die begriffskonstituierende Vorstellung. Wenn die gegebene Funktion speziell eine Änderungsratenfunktion ist, bedeutet das verallgemeinerte Produkt den Gesamteffekt, den die Änderungsraten auf dem gegebenen Intervall bewirken, also die durch die Änderungsraten insgesamt generierte Zu- oder Abnahme des „Bestands gegenüber dem Anfangsbestand. Ein Beispiel ist die durch die (Momentan-)Geschwindigkeit bewirkte Wegänderung. Anders ausgedrückt, wird der Bestand aus dem Anfangsbestand und den gegebenen Änderungsraten mittels Integral rekonstruiert. Negative Funktionswerte führen dabei in natürlicher Weise zu verringerten Integralwerten, denn das bedeutet ja im Kontext eine Abnahme des Bestands.
In den letzten Jahren gab es vermehrt Vorschläge, diese Idee der Rekonstruktion als Schwerpunkt der Integralrechnung zu sehen, schon beim Einstieg (siehe Danckwerts/Vogel 2006 sowie Schmidt 2015 und Körner 2016). Auch in den deutschen Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife (siehe KMK 2012 und Blum u.a. 2015) wird dieser Zugang betont, indem in der Leitidee „Messen die inhaltsbezogene Kompetenz „Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen formuliert wird und in der Leitidee „Funktionaler Zusammenhang die Kompetenz „Das bestimmte Integral deuten, insbesondere als (re-)konstruierten Bestand.
Auch wir favorisieren diesen Zugang und stellen hier eine von uns in zahlreichen Klassen (u.a. im Rahmen des MAKOS-Projekts; siehe Roder/Bruder 2015) so oder ähnlich erprobte Unterrichtseinheit zur Integralrechnung vor, die den Rekonstruktionsgedanken betont und auf das Verständnis der wesentlichen Begriffe und Methoden bei den Lernenden abzielt. Dieser Weg führt in natürlicher Weise zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (beide Teile). Der Schwerpunkt liegt auf inhaltlichen und geometrischen Überlegungen, während algebraische Integralberechnungen insbesondere in der Einführungsphase nur am Rande vorkommen. Der Weg ist gleichermaßen für Grundkurse wie für Leistungskurse geeignet. Unterschiede zwischen den beiden Kursniveaus bestehen u.a. im Grad der Formalisierung bei der Begriffsbildung und bei Begründungen und im verwendeten Funktionenmaterial.
Wir setzen durchgehend digitale Werkzeuge ein, speziell die dynamische Software GeoGebra, was sowohl für die gewinnbringende dynamische Visualisierung als auch für die Entlastung von Rechenarbeit und speziellen algebraischen Umformungen nützlich ist (siehe www.integrator-online.de sowie Elschenbroich 2015, 2016 für viele weitere Beispiele).
Voraussetzungen aus der Differentialrechnung sind der Begriff der Ableitung als lokale Änderungsrate, der Begriff der Ableitungsfunktion und der Begriff der...

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