5. – 13. Schuljahr

Jürgen Roth, Hans-Stefan Siller

Bestand und Änderung

Grundvorstellungen entwickeln und nutzen

Bestand und Änderung sind für den Alltag wichtige aber auch fehleranfällige Konzepte. Es ist deshalb eine Daueraufgabe im Mathematikunterricht, Grundvorstellungen zu Bestand und Änderung aufzubauen und regelmäßig zu nutzen. Nur so haben Schülerinnen und Schüler die Chance, inhaltlich angemessen mit dem wichtigen Konzept des funktionalen Zusammenhangs umzugehen und damit zu argumentieren.

Funktionale Zusammenhänge kommen fast überall vor im Alltag ebenso wie innerhalb der Mathematik. Trotzdem fällt es vielen Menschen schwer, in und mit solchen Zusammenhängen zu denken. Eine Schwierigkeit, die beim Denken in funktionalen Zusammenhängen auftritt, besteht darin, den Unterschied zwischen Bestand und Änderung richtig zu beurteilen (vgl. Sweeney/Sterman 2000; Ossimitz 2003).
Zu den Begriffen Bestand und Änderung
Der Bestand (auch als Bestandsgröße oder Zustandsgröße bezeichnet) hat zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Wert und wird durch Zu- bzw. Abflüsse verändert. Mit Änderung sind die absolute Änderung in einem Zeitintervall wie auch die relative Änderung pro Zeiteinheit (Änderungsrate) gemeint.
Wie die Beispiele in Tab. 1 illustrieren, sind Bestände und ihre Änderungen (Zu- und Abflüsse) im Alltag weit verbreitet. Trotzdem haben Schülerinnen und Schüler und auch viele Erwachsene erhebliche Probleme, sich z.B. aus Zu- und Abflüssen den daraus resultierenden Bestand zu erschließen. Wer diese Aufgabe bewältigen möchte, muss über drei notwendige Kernfähigkeiten zur gedanklichen Auseinandersetzung mit Änderungen (vgl. Roth 2005a) verfügen:
Kernfähigkeiten zur gedanklichen Auseinandersetzung mit Änderungen
  • In eine Situation eine Änderung hineinsehen und damit argumentieren.
  • Den Gesamtzusammenhang erfassen und analysieren.
  • Das Änderungsverhalten erfassen und beschreiben.
Es scheint insbesondere die Fähigkeit „Änderungsverhalten erfassen und beschreiben zu sein, welche die entscheidenden Probleme verursacht. Diese Kernfähigkeit wird in der Aufgabe in Abb. 1 (Ossimitz 2003, S. 61) gezielt angesprochen: Ein Diagramm1 zeigt die Ankünfte und Abreisen in einem Hotel während eines bestimmten Zeitraums. Die Ankünfte und Abreisen der Gäste sind jeweils als Änderungen der Hotelgäste-Anzahl zu interpretieren. Man muss zusätzlich erfassen, dass die Anzahl der Gäste bis zu dem Zeitpunkt steigt, an dem die Zahl der Abreisen erstmals die der Anreisen übersteigt. Im Beispiel ist dies am 27. Dezember der Fall.
Genauer betrachtet, spielen bei dieser Aufgabe alle Kernfähigkeiten für den Umgang mit Änderungen eine Rolle: Zunächst müssen die Daten der Graphik als Änderung interpretiert werden. Dann ist der Gesamtzusammenhang zu erfassen und zu analysieren, d.h. die beiden Änderungen des Systems „Hotel müssen in ihrer Gegenläufigkeit erfasst und gemeinsam (als Änderungssaldo) verstanden werden. Erst beide Gedankengänge zusammen gestatten eine Aussage über das Änderungsverhalten.
In einer Studie haben nur 22% die Aufgabe in Abb. 1 richtig beantwortet2. 60% gaben an, der Tag mit den meisten Ankünften im Hotel sei der Tag, an dem das Hotel die meisten Gäste beherbergt (vgl. Ossimitz 2003). Hingegen erhielt man auf die Frage nach dem Tag, an dem die meisten Gäste abreisen, fast durchweg korrekte Antworten. Die Befragten scheinen also Maxima eines (Funktions-)Graphen relativ sicher angeben zu können, sind aber mehrheitlich nicht in der Lage, das Maximum einer Bestandsgröße (Funktionswert) vom Maximum einer zugehörigen Änderung unterscheiden zu können.
Wo liegen die Schwierigkeiten?
Es bestehen erhebliche Probleme bei der Differenzierung zwischen einer Größe (bzw. ihrem Bestand) und ihrer (zeitlichen) Änderung. Insbesondere der Schluss von einer Änderungsrate auf den zu Grunde liegenden Bestand fällt vielen schwer, meist werden die Werte der Änderungsrate und des Bestands einfach gleichgesetzt.
Absolute und...

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