11. – 11. Schuljahr

Christian Fahse

Bestand, Änderung und dann?

Ein intuitiver Zugang zu Differenzialgleichungen als Schlüssel für e-Funktion und Integral

Welche Funktion ist gleich der eigenen Ableitung? Dieses Problem führt handlungsorientiert gleichermaßen in die Themen Differenzialgleichung wie Exponentialfunktionen ein. Auch in Kursen auf grundlegendem Niveau ergeben sich interessante Diskussionen und gut zu verwendende Ergebnisse.
Der hier vorgestellte Ansatz beruht auf dem vielleicht in der Unterrichtspraxis etwas vernachlässigten Thema „Differenzialgleichungen, das gut geeignet ist, um davon ausgehend Exponentialfunktionen und die Einführung der Integralrechnung zu behandeln.
Differenzialgleichungen verknüpfen die Änderungsrate einer Größe mit ihrem Bestand und der unabhängigen Variable, etwa in dem Beispiel f '(x)=xf(x). Hängt die Änderungsrate f  '(x) nur vom Bestand f(x) ab, so führen die Differenzialgleichungen auf das Thema Exponentialfunktion. Hängt die Änderungsrate nur von x ab, so ist die Lösung der Differenzialgleichung eine Stammfunktion von f  '(x). Damit ermöglicht die Betrachtung numerischer Lösungsverfahren eine Vernetzung zentraler Inhalte der Analysis, ohne dass man zu tief oder theorielastig in das Thema Differenzialgleichungen einsteigen muss.
Problemstellung
Als Gruppenarbeit wird die Aufgabe gestellt:
Finden Sie Funktionen, die gleich ihrer eigenen Ableitung sind. Gibt es eine solche Funktion mit f(0) = 1?
Eine solche Funktion finden die Lernenden sehr schnell die konstante Funktion f(x) = 0. Wenn man zügiger vorgehen will, kann man sofort die einschränkende Bedingung f(0) = 1 in den Arbeitsauftrag aufnehmen und ein Koordinatensystem auf Millimeterpapier austeilen. Dieser für 10 bis allenfalls 15 Minuten gedachte Arbeitsauftrag ist sehr überschaubar und auch in 45 Minuten einschließlich einer substanziellen Diskussion zu behandeln.
Der Anfang benötigt in einigen Gruppen etwas Zeit sie müssen sich ggf. davon lösen, algebraisch auf eine Lösung zu kommen, falls im Unterricht zuvor die Ableitungsregeln stark im Vordergrund standen.
In dieser Aufgabe wird auf die Grundvorstellung der lokalen Änderungsrate, im Funktionsgraphen speziell auf die Bedeutung der Ableitung als Steigung zurückgegriffen. In der Problemstellung ist die Steigung nur indirekt als Funktionswert gegeben. Diesen zirkelhaft anmutenden Sachverhalt zu erfassen, ist der erste Schritt zur Lösung des Problems: Was weiß man über die Funktion? Es ist f(0) = 1, den Punkt (0|1) kann man in das Koordinatensystem einzeichnen. Die Steigung in diesem Punkt muss dann ebenfalls 1 sein, denn f  '(0) = f(0). Die Funktion wird also etwa in einem 45°-Winkel weiterverlaufen und fast alle Gruppen zeichnen einen kleinen Strich mit Steigung 1 ein.
Wieder gibt es eine Hürde man weiß ja nur ungefähr, wie die Funktion weitergeht. Sicher ist aber, dass bei positiven x-Werten die Steigung der Funktion noch größer als 1 sein muss, was zu einem weiteren Geradenstück mit einer etwas größeren Steigung führt. Besonders genau arbeitende Gruppen lesen an der Stelle 0,1 den Funktionswert 1,1 der mit dem Strich angedeuteten Tangente ab dies sollte dann (in etwa) gleich der Steigung der gesuchten Funktion an der Stelle 0,1 sein. Wer bis hierher gekommen ist, wird naheliegenderweise das Vorgehen fortwährend wiederholen.
Neben dem Zugang zur Aufgabenstellung ist der Mut, einfach etwas einzuzeichnen, auch wenn es noch nicht ganz exakt ist, eine zweite Hürde. Diese kann durch entsprechenden Zuspruch entschärft werden.
Schülerergebnisse
Alle Kurse ermittelten den groben Verlauf der Kurve monoton steigend, ja sogar immer stärker steigend (Abb. 1 ). Viele Lernende halten diese Kurve für eine (verschobene) Hyperbel. Da für diese aber bereits die Ableitungsregel bekannt ist, scheidet diese Funktionsklasse aus.
Etwas länger zurück (10. Jahrgangsstufe) liegen Exponentialfunktionen vom Typ ax (ein Vorfaktor...

Weiterlesen im Heft

Vorteile im Abo

Exklusiver Online-Zugriff auf die digitalen Ausgaben der abonnierten Zeitschrift
Print-Ausgabe der abonnierten Zeitschrift bequem nach Hause
Zusatzvorteile für Abonnenten im Online-Shop genießen