10. – 13. Schuljahr

Johanna Heitzer

Änderungsraten und Bilanzen

Zeit-los bedeutsam

Der Analysisunterricht hat in den letzten Jahren hinsichtlich Anwendungsbezug und Schulung des Interpretationsvermögens dadurch gewonnen, dass man Ableitungen nicht nur über Tangentensteigungen, sondern allgemeiner als Änderungsraten, und Integrale nicht nur über Flächeninhalte, sondern allgemeiner als Bilanzen einführt. Ist die Laufvariable die Zeit, gewöhnt man sich recht schnell daran: Die Ableitung ist irgendeine (Zulauf-, Wachstums-, Zerfalls-, ) Geschwindigkeit, das Integral liefert irgendeinen (Wasser-, Populations-, Material-, ) Bestand.
Der schmale Grat zwischen Einsicht und Irrtum
Interessant und anspruchsvoll wird es aber auch und gerade dann, wenn die freie Variable einmal nicht die Zeit ist. Betrachten wir dazu die beiden Aufgaben in Kasten 1.
Anwendungsprobleme zu kovarianten Größen (ohne die Zeit)
Anwendungsprobleme zu kovarianten Größen (ohne die Zeit)
Aufgabe 1: Hubarbeit1
Ein Bagger hebt eine Ladung Kies aus dem Fluss auf einen 9m hohen Kahn. Beim Heben fließt Wasser ab, so dass sich die benötigte Kraft stetig verringert, und zwar nach der Gesetzmäßigkeit
F(s) = 50000 9000 · √s , s: Hubweg in m, F: Kraft in N.
Wie lautet die Arbeitsfunktion W? Welche Arbeit wird insgesamt verrichtet?
Lösungsvorschlag:
Es gilt Arbeit = Kraft · Weg und für kleine Teilstrecken, auf denen die Kraft als konstant angenommen werden kann, ∆W = F · ∆s. Für die längs des Weges verrichtete Arbeit in J = Nm gilt demnach:
W(s) = ∫ F(s) ds
= 50000 · s 6000 · s3/2 + c
und W(9) W(0) = 288000.
Korrekt?
Aufgabe 2: Betonrohbauten
Bei Betonrohbauten gilt für den Preis pro m³ in Abhängigkeit vom insgesamt umbauten Raum (ab einem Volumen von 200m³) mit guter Näherung:
p(V) = 717 · e - 0,000165 · V,
V: Umbauter Raum in m³,
p: Kubikmeterpreis in €/m³
Welcher Term beschreibt die Gesamtkosten abhängig vom Bauvolumen? Wie viel kostet ein Betonrohbau mit 4000 m³ umbautem Raum?
Lösungsvorschlag (Kurzform)2:
Gesamtpreis = Kubikmeterpreis · Volumen
∆P = p · ∆V und
P(V) = ∫ p(V) dV ≈ 4,35 · 106 · e - 0,000165 · V + c und P(4000) P(0) ≈ 2102700.
Korrekt?
Die Aufgaben und Lösungsvorschläge ähneln sich auffallend. Dennoch ist das eine klass(isch)e Mechanik und das andere grober Unfung (und zwar auch über das im Sachkontext gar nicht sinnvoll definierte P(0) hinaus). Wo steckt der Interpretationsfehler? Warum kann es im Kontext von Änderungsraten und Bilanzen zu derlei Missverständnissen kommen? Wie kann man dem entgegenwirken oder vorbeugen? Von diesen Fragen ist der vorliegende Beitrag geleitet.
Deutungsfallen bei Bilanzen, Typ 1
Der für Aufgabe 2 von einem Studenten vorgestellte Lösungsvorschlag (Kasten 1) hat im Kurs zunächst keinen Protest hervorgerufen. Das Gefühl, dass etwas nicht ganz stimmen könne, drängte sich erst nach meiner Aufforderung zum Ausformulieren der Lösung bei einigen auf: „Für kleine Bauabschnitte, in denen der Kubikmeterpreis als konstant angenommen werden kann, gilt []. Für die Gesamtkosten des im Bauprozess entstehenden Gebäudes in € gilt demnach []. Wie? Beim Bauprozess ändern sich doch die Kubikmeterkosten nicht: Die Gebäudegröße steht von Anfang an fest.
Tatsächlich liegt der Fehler darin, dass gar kein Prozess denkbar ist, in dem das Rohbauvolumen kontinuierlich ansteigt. Er hat damit zu tun, dass schon die abhängige Größe beim Ausgangszusammenhang eine gemittelte ist. Der durchschnittliche Kubikmeterpreis bei einem 4000-m³-Rohbau ist vom ersten Kubikmeter an gleich; zur korrekten Lösung führt ein einfaches Produkt und kein Integral:
P(V) = p(V) · V = 717 · V · e - 0,000165 · V
P(4000) ≈ 1482330
In aktuellen Schulbüchern finden sich weitere Kontexte dieses Typs. Allerdings sind die Unterschiede zu Aufgaben, bei denen Integration sinnvoll ist, teils so klein, dass man sehr genau hinsehen muss.
Aus dem Lehrwerk „Neue Wege stammt folgende Situation3:
Bei einer Erdwärmebohrung sei der Zusammenhang zwischen...

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