4. – 7. Schuljahr

Karin Binder, Markus Vogel

Prä-Bayessche Verhältnisse

Mit Aufgabenvariationen zum Satz von Bayes

In unserer heutigen Gesellschaft sind wir tagtäglich einem „Trommelfeuer aus Daten, Statistiken, Kurven und Trends ausgesetzt (Krämer, 1998). Unglücklicherweise unterliegen Laien und sogar Experten Urteilsfehlern mit teils dramatischen Folgen, wenn statistische Informationen miteinander verknüpft werden müssen. Besonders fehleranfällig sind Menschen bei Urteilen, die mathematisch im Zusammenhang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und dem Satz von Bayes stehen. Selbst Fachleute (etwa Mediziner oder Juristen) liegen bei wichtigen, ihr Fachgebiet betreffenden, Entscheidungsprozessen in Bayesianischen Situationen oft beträchtlich daneben. So scheitern viele Menschen bei Fragestellungen wie etwa in der berühmten Mammographie-Aufgabe (nach Eddy 1982):
Mammographie-Aufgabe
Für eine Frau im Alter von 50 Jahren, die an einem routinemäßigen Screening zur Brustkrebsfrüherkennung teilnimmt, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% erwartet, dass sie Brustkrebs hat. Wenn eine Frau Brustkrebs hat, liegt die Wahrscheinlichkeit bei 80%, dass sie einen positiven Mammographie-Befund erhält. Wenn eine Frau keinen Brustkrebs hat, ist die Wahrscheinlichkeit 10%, dass sie dennoch einen positiven Befund erhält. Stellen Sie sich vor, eine Frau dieses Alters erhält einen positiven Mammographie-Befund. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich Brustkrebs hat?
Damals schätzten etwa 95% der befragten Ärzte die Wahrscheinlichkeit als zwischen 70% und 80% liegend ein (vgl. Eddy 1982). Die richtige Antwort liegt hingegen bei 7,5% (aktuell liegt der reale Wert im deutschen Brustkrebsscreening übrigens bei noch immer erschreckend niedrigen 13%). Dass bei solchen Fragen die menschliche Intuition durchweg wenig zuverlässig ist, ist mittlerweile auch in der Schulpraxis gut untersucht und belegt. Welche Ansätze gibt es nun, um im Unterricht Schülerinnen und Schüler zu befähigen, Bayesianische Situationen durchdringen zu können?
In algebraisch-technischer Hinsicht wird zur Lösung solcher Probleme keine anspruchsvolle Mathematik benötigt was in gewisser Weise erstaunlich ist. In der Mammographie-Aufgabe werden mit der Bruch- und Prozentrechnung lediglich Themen der Unter- bzw. Mittelstufenmathematik adressiert (vgl. auch das Beispiel zum Hörtest für Neugeborene in Strick 2012 oder Borovcnik 2016). Dies war für uns der Anlass, darüber nachzudenken, wie in der Unterstufe der Satz von Bayes im Sinne des Spiralprinzips mit gezielten Aufgabenvariationen vorbereitet werden kann. Wir betrachten dabei
  • Variationen zur Art des Sachkontextes,
  • Variationen zur Art, wie die statistische Information dargestellt wird und
  • Variationen zur Art, welche Schlussfolgerungen zu ziehen sind.
Daneben greifen wir auf zwei bereits bekannte Strategien zurück, die sich in der Forschung zu Bayesianischen Aufgaben (s. Gigerenzer/Hoffrage 1995) als besonders lernwirksam erwiesen haben:
1. Darstellung der statistischen Informationen mit absoluten Häufigkeiten und
2. Visualisierung der statistischen Informationen beispielsweise mit Einheitsquadraten oder Baumdiagrammen.
Ansätze in der Unterstufe
Es lohnt sich also, Situationen mit zwei dichotomen Merkmalen bereits besonders früh zu unterrichten und im Laufe der Schulzeit immer wieder aufzugreifen. Vorformen Bayesianischer Aufgaben könnten bereits in der Grundschule unterrichtet werden, indem beispielsweise mit binären Türmchen aus je zwei bunten Steckwürfeln gearbeitet wird (z.B. gelb = Mädchen, rot = Junge, blau = hat ein Haustier, grün = hat kein Haustier; siehe Kurz-Milcke/Martignon 2006).
Es geht also darum, die Problemstellung didaktisch zu reduzieren, damit die mathematische Grundstruktur des richtigen In-Beziehung-Setzens von Teilmengen heraustreten kann. Hierzu lassen sich einige Aufgabenvariationen für die frühe Sekundarstufe I konzipieren, die wir im Folgenden...

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