Messen

Messen und Vergleichen von Maßen beginnt mit der intuitiven Herangehensweise im Vorschulalter und führt über das Zurückgreifen auf Referenzgrößen zur Systematisierung im Mathematikunterricht. Der Schritt zur standardisierten Einheit ist zwar naheliegend, dennoch ist auch die historische Bedeutung der Standardisierung von Maßeinheiten für Lernende interessant. Ist das Standardmaß einmal festgelegt, wird „gemessen“, wie oft man eine solche Einheit benötigt. Ausgehend von solch tragfähigen Vorstellungen kann zunehmend das rechnerische und verallgemeinerte Messen erschlossen werden.

Die grundlegenden Aspekte des Messprozesses sind: das Verständnis der zu messenden Größe, das Auswählen einer passenden Einheit, das sachgerechte Verwenden derselben und ihre systematische Untergliederung. Für ein tragfähiges Verständnis müssen drei Wissensarten (experimentell erfahrbar, auf Konventionen beruhend, logisch-erschließbar) miteinander verknüpft werden. Es ist nicht selbstverständlich, dass Kinder am Ende der Grundschulzeit ein entsprechendes Messverständnis aufgebaut haben.

Auf der weiterführenden Schule wird die Auseinandersetzung mit der neuen räumlichen Umgebung für eine materialbasierte und handlungsorientierte Bestimmung von Flächeninhalten genutzt (Wie groß ist unser Klassenraum, wie groß sind unsere Tische?). Messprinzipien und Maßeigenschaften stehen im Vordergrund; die rechnerische Bestimmung des Flächeninhalts und die Umwandlungen von Größen in andere Maßeinheiten werden motiviert und propädeutisch durchgeführt.

Das Umrechnen von Größen stellt viele Schülerinnen und Schüler in ihrem (Schul-) Leben vor Schwierigkeiten. Um Sicherheit beim Umwandeln von Größen zu erlangen, können zwei Wege miteinander kombiniert werden: Das Aktivieren von Stützpunktvorstellungen und das Eintragen in eine Stellenwerttafel. An verschiedenen Beispielen wird aufgezeigt, wie die beiden Wege im Unterricht umgesetzt werden können.

Die Winkelmessung ist essenzieller Bestandteil beim systematischen Aufbau des Winkelbegriffs zu Beginn des 5./6. Schuljahres. Das Geodreieck stellt Lernende nachweislich vor Herausforderungen bzgl. des Erlernens korrekter Winkelmessungen. Gleichzeitig unterstützen die Handlungen mit dem Geodreieck nicht beim Aufbau tragfähiger Winkelideen. Durch die im Artikel vorgestellten Zugänge mit konkretem Material und alternativen Messwerkzeugen wird das Messen selbst zur begriffsbildenden Handlung.

Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik; im Artikel wird die konkrete Kombination zweier Zusammenhänge und Begründungen vorgestellt, die für Lernende besonders überzeugend und sinnstiftend werden kann. Die Kluft zwischen dem Flächensatz und dem Berechnen von Längen wird bei der im Artikel vorgestellten Herangehensweise etwas verkleinert. Zwei Cinderella-Apps veranschaulichen das Ganze.

Lernende einer 9. Klasse setzen sich im Kontext der Bestimmung des Pyramidenvolumens intensiv mit den Grundprinzipien des Messens auseinander. Dabei lernen sie potenziell unendliche Messvorgänge kennen, die eine tragfähige Vorstellung für die Integralrechnung liefern. Zudem erfahren sie, wie der Flächeninhalt unter einer Parabel und das Volumen einer Pyramide zusammenhängen, hierdurch wird das Messen einer Fläche mit dem Messen eines Volumens konnektiert.

Ein Zeitungsartikel über die „Abschnittsmessung“ der Geschwindigkeit von Autos ist Anlass, den Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Geschwindigkeit aus intuitiver und aus mathematischer Sicht zu durchdenken; diese Untersuchung führt schließlich auch auf den Schrankensatz der Differenzialrechnung.

Bei Einführung der rationalen Zahlen erfahren die Lernenden: Auf der Zahlengeraden passen zwischen zwei noch so dicht liegende Zahlen unendlich viele rationale Zahlen. Die Erweiterung von ℚ nach ℝ zeigt: Es gibt immer noch Lücken, die durch die – unendlich vielen – irrationalen Zahlen gefüllt werden. Jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht genau eine reelle Zahl. Mächtigkeitsvergleiche von Intervallen fallen schwer, die zweistündige Sequenz zeigt einen verständnisorientierten Weg zur schlüssigen Argumentation.

Eine alte Schulbuchaufgabe zum Nachweis der Inhaltsformel für das reguläre Zwölfeck hat der Autor als Schüler traditionell gelöst. Gibt es nicht auch eine kürzere Lösung? Die Formel ist ja recht einfach. Zwei tatsächlich einfachere Beweise können im Unterricht anhand der entsprechenden Beweisfiguren erarbeitet werden. Im hierbei erforderlichen Argumentieren erweitert und vertieft sich der Blick auf strukturelle Zusammenhänge, am Zwölfeck und darüber hinaus. Einmal mehr bewähren sich multiple Lösungswege.

Die etwas andere Aufgabe stellt regelmäßig Fundstücke aus dem Alltag und besonders interessante Aufgaben für den Mathematik­unterricht vor. In dieser Ausgabe geht es unter Anderem um eine besonders überraschende Anwendung der dritten binomischen Formel, um eine Freibad-Aufgabe zum Rechteckumfang, um die Berechnung des Umfangs eines Rechtecks ohne Formeln sowie um Mönche und Primzahlen und – last but not least – um die Ladengröße eines Schuhgeschäfts.

Mithilfe der, für beide gängige Handy-Betriebssysteme kostenlosen, Multisensor-App PhyPhox ist es möglich, schnell Graphen und Mess­daten mit dem Smartphone aufzunehmen und mathematisch weiterzuverarbeiten. Anhand einiger Beispiele wird im Artikel aufgezeigt, wie ein verständiger Umgang mit den Daten zu gehaltvollen mathematischen Aktivitäten der Lernenden führen kann. Dies reicht von kontextuellen Interpretationen statistischer Kenngrößen bis hin zum Einleiten wesentlicher Aspekte der mathematischen Modellbildung.

Die MatheWelt zu dieser Ausgabe ist ein Freiarbeitsheft zum Thema Messen. Die Lernenden beschäftigen sich mit Längen, Gewichten und Zeiten, zunächst durch Schätzungen und das Überprüfen der eigenen Schätzwerte. Die einzelnen Größenbereiche und Umrechnungen werden anschließend systematisch in Wissensspeichern festgehalten. Konkrete Aufgaben festigen und vernetzen die einzelnen Bereiche. Zeitrahmen, Aufgaben und Materialien können anhand einer Liste individuell für die jeweilige Lerngruppe festgelegt und angepasst werden.