7. – 8. Schuljahr

Daniela Hesse

Mehr als nur rechnen

Von magischen Quadraten zur Algebra

Magische Quadrate gibt es vermutlich in jedem Mathebuch, wenn die Addition oder Multiplikation von Zahlen (egal, ob Bruchzahlen, Dezimalzahlen oder rationale Zahlen) geübt werden soll. Das Prinzip ist einfach, die Vorgaben sind leicht zu verstehen, und das Ergebnis ist in der Regel eindeutig. Wie viel Mathematik es hier zu entdecken gibt, war mir deshalb zunächst gar nicht klar.
Gemeinsam mit meinen Schülerinnen und Schülern habe ich die magischen Quadrate als Ausgangspunkt für einen Erkundungsprozess genommen, der uns bis zur Algebra geführt hat. Wir haben geknobelt und probiert und dabei mathematische Strukturen untersucht, Zusammenhänge erkannt und Erstaunliches entdeckt. Vielleicht haben Sie Lust, uns dabei zu begleiten und Ihre ganz eigenen Entdeckungen zu machen. Deshalb beschreibe ich hier nur den Prozess und die Aufgaben (vgl. auch Arbeitsblatt. 🔎). Tipps und Lösungen finden Sie im Online-Material.
Alles begann mit einer Frage
„Haben Sie nicht eine andere Aufgabe für mich? Aber eine, die richtig schwer ist! Erwartungsvoll steht Jaqueline, 7. Klasse, vor mir. Sie liebt die Herausforderung und die Mathematik. Standardaufgaben sind ihr schnell zu langweilig, dann lässt ihre Konzentration nach und sie lenkt sich und andere ab. Wir haben vereinbart, dass sie dann lieber zu mir kommt und eine individuelle Aufgabe bekommt. Im Rahmen der Unterrichtseinheit „Rationale Zahlen wurde daraus eine Folge von Aufgaben für die ganze Klasse und eine gemeinsame Forscherreise in die Welt der magischen Quadrate.
Aufgabe 1a: Erfinde ein magisches 3×3-Quadrat mit negativen und positiven Zahlen, wobei jede Zahl aber nur einmal vorkommen darf.
Diese Aufgabe ist sehr offen formuliert. Die Lösung muss neben den Bedingungen der magischen Quadrate nur eine weitere erfüllen: Es müssen wirklich positive und negative Zahlen vorkommen. Insgesamt ist die Aufgabe anspruchsvoll, sie kann zwar durch systematisches Probieren gelöst werden, es gibt aber auch viele Irrwege. Die Lösung ist keineswegs trivial, und die dahinter verborgene Struktur führt am Ende bis in die Algebra zu Termen und Termumformungen.
„Ich bekomme das nicht raus. Ich habe ganz viel ausprobiert. Aber am Ende stimmt immer etwas nicht. Können Sie mir nicht einen Tipp geben? Jaqueline ist ehrlich verzweifelt und zeigt mir ihre vielen vergeblichen Versuche.
Bekannte Lösungsstrategien stehen den Schülerinnen und Schülern in der Regel nicht zur Verfügung. Neben Kreativität brauchen sie hier Durchhaltevermögen und die Fähigkeit, Zusammenhänge zu sehen und zu nutzen. Und weil Erfolgserlebnisse so wichtig sind, formuliere ich parallel eine Aufgabe, die deutlich einfacher ist und von allen Schülern gelöst werden kann.
Aufgabe 1b: Bilde mit den Zahlen
9, 5, 4, 1, 0, 1, 4, 5, 9
ein magisches Quadrat.
Die magische Zahl ist Null.
Alternativ kann man bei dieser Aufgabe auch nur einen Teil der Zahlen vorgeben und/oder die magische Zahl weglassen. Gib man nur die Zahlen 5, – 4, 0, 4, 5 und die magische Zahl 0 vor, steigt die Variationsbreite der Lösungen und die Aufgabe wird einfacher. Der Schwierigkeitsgrad lässt sich durch den Umfang an Informationen flexibel an die eigene Lerngruppe und an das Leistungsvermögen einzelner Lernenden anpassen.
Am Ende der großen Pause präsentiert Jaqueline mir die Lösung. „Prima, freue ich mich mit ihr. „Kannst du nun auf dieser Grundlage ein eigenes Quadrat finden? (s. Arbeitsblatt, Aufgabe 2). Dafür gibt es Veränderungsprinzipien, die Schülerinnen und Schüler durchaus selbst entdecken können:
1. In allen Feldern wird dieselbe Zahl addiert. 🔎
2. Die Felder werden nach folgendem Muster verändert. Dieses kann auch gedreht und gespiegelt werden. 🔎
Entscheidend ist, die Abhängigkeit der Felder untereinander zu erkennen und zu verstehen, wie die Veränderung in einem Feld weitere Veränderungen zur Folge hat und bestimmte Ansätze als nicht möglich erkannt und dadurch ausgeschlossen werden können.
Trotz Ermutigung scheitert Jaqueline erneut. Ich bin erstaunt. „Keine Idee?, frage ich sie. Sie schüttelt den Kopf. Nun will ich ihr nicht einfach das Prinzip verraten. Stattdessen stelle ich ihr eine weitere Aufgabe (Aufgabe 2b). Bei der Bearbeitung soll sie dieses Prinzip selbst entdecken.
Abhängig davon, in welchem Feld ich eine Veränderung vornehme, ändern sich bestimmte Spalten, Zeilen und Diagonalen (in Abb. 1 unten 🔎 mit Pfeilen markiert), andere hingegen bleiben unverändert. Wir überlegen gemeinsam, was es für Möglichkeiten gibt. Dabei kann ich eine Zahl ändern (aber auch mehrere Zahlen an unterschiedlichen Stellen) und jeweils die Auswirkungen auf das magische Quadrat untersuchen: Welche Felder müssen dann zusätzlich geändert werden? Und wie?
Ganz einfach ist für Jaqueline auch diese Aufgabe nicht. Sie probiert, überlegt, ändert, schließt aus, überprüft, ändert erneut und ist am Ende zufrieden: „So viele unterschiedliche Lösungen, das hätte ich nie gedacht! Das ursprüngliche Ziel, ein eigenes magisches Quadrat zu erstellen, ist damit erreicht. Aber vielleicht lässt sich ja noch mehr entdecken?
Vom Nutzen der Algebra: Strukturen beschreiben
Sobald die Schülerinnen und Schüler Kenntnisse über Terme und Variablen haben, wirds nochmal spannend. Dann lassen sich die gefundenen Lösungen verallgemeinern, und die Struktur wird erst richtig sichtbar. So suchen die Schülerinnen und Schüler in ihrem magischen Quadrat nach Zusammenhängen zwischen den Zahlen und Mustern (vgl. Arbeitsblatt, Aufgabe 3): Welche Zahlen lassen sich als Summe/Differenz ausdrücken? Anschließend werden zwei beliebige Zahlen durch die Variablen a und b ersetzt, und erstaulich: Alle anderen Zahlen lassen sich als Summe oder Differenz von a und b beschreiben.
Variable und Terme helfen an dieser Stelle, die Strukturen des magischen Quadrats zu erkennen. Wählt man für a und b andere Zahlen, lässt sich eine Vielzahl neuer Quadrate generieren. Auch die selbst gefundenen Möglichkeiten, ein magisches Quadrat zu verändern, lassen sich mit Hilfe von Variablen beschreiben (vgl. Arbeitsblatt, Aufgabe 4). Ausgehend von den Zahlen-Quadraten, übersetzen die Schülerinnen und Schüler ihre Lösung in die Sprache der Algebra. Dadurch werden die Zusammenhänge in ihrer Allgemeingültigkeit deutlich: Algebra wird hier als Instrument für den Erkenntnisprozess genutzt und als hilfreich und sinnvoll erfahren.
Zusammenhänge sehen und verstehen
Zusätzlich lassen sich bestimmte algebraische Zusammenhänge verdeutlichen und erklären. Da anfangs (Aufgabe 1b) die magische Zahl Null ist, ist die Summe in jeder Zeile und Spalte Null. Sind a und b vorgegeben, muss das graue Feld die Summe zu Null ergänzen: 🔎
Das bedeutet für die 1. Zeile:
a + b a b = 0 bzw.
(a + b) (a + b) = 0.
Daraus folgt a b = (a + b).
Analog für die 3. Zeile:
b a + a + b = 0 bzw.
( a b) ( a b) = 0
Daraus folgt ( a b) = a + b. 🔎
Mathematisches Arbeiten fördern
Die vielfältigen mathematischen Tätigkeiten, die zum Lösen der Aufgaben erforderlich sind, fördern auf unterschiedlichen Ebenen die inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen.
Bei den Aufgaben 1 und 2 wird das Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen geübt. Bei den Aufgaben 3 und 4 steht der Umgang mit Variablen und Termen im Vordergrund. Daneben werden Systematisches Probieren und Logisches Schließen trainiert. Der Bereich Argumentieren und Kommunizieren wird durch die verschiedenen Formen der Selbst- und Partnerkontrolle gefördert (s. Lösungen im Online- Material). Während der Erkundungsphasen üben die Schülerinnen und Schüler, sich mit Lösungen anderer auseinanderzusetzen, diese zu prüfen und zu beurteilen.
Wenn die Schülerinnen und Schüler ihre Entdeckungen begleitend in einem Lerntagebuch dokumentieren, üben sie zusätzlich, mathematische Erkenntnisse und Zusammenhänge darzustellen und zu beschreiben. Auch ist jeder persönlich in seiner Kreativität und seinem Durchhaltevermögen gefragt.
Besonderen Wert lege ich auf eine sorgfältige gemeinsame Auswertung am Ende des Arbeitsprozesses, um die erworbenen Kompetenzen, vor allem die eingesetzten Strategien zu reflektieren und langfristig verfügbar zu halten.
Differenzierung
Die Aufgaben verbinden unterschiedliche Schwierigkeits- und Formalisierungsgrade innerhalb eines Gesamtkontextes. Variante a) ist anspruchsvoller, b) ist leichter, gibt mehr Hilfestellungen. Durch Weglassen oder Hinzufügen von Informationen bei den Aufgaben ist ein weiteres Anpassen an die eigene Lerngruppe möglich. Zusätzlich gibt es Tipp-Karten (Abb. 2, 🔎 Online-Material), die individuell genutzt werden können, und Lösungen zur Kontrolle, sodass das Aufgabenset auch für heterogene Lerngruppen geeignet ist.
Ausblick: Magische Quadrate zur Multiplikation
Lässt sich eine ähnliche Struktur für magische Quadrate zur Multiplikation finden? Diese Frage ist an dieser Stelle naheliegend. Und tatsächlich es gibt sie. Die Forscher-Aufgaben dazu können ganz entsprechend formuliert werden. Allerdings sind Kenntnisse zum Umgang mit Potenzen hilfreich, sodass sich eine Beschäftigung damit eher für die Klassenstufen 910 oder für Lerngruppen im oberen Leistungsbereich eignet.
Man findet die folgende Struktur mit der magischen Zahl a3b3, wobei alle Kombinationen der Potenzen a0, a1, a2 und b0, b1, b2. auftreten: 🔎
Dabei sind a, b ϵ ℚ, und negative Zahlen ergeben sich, wenn a und b unterschiedliche Vorzeichen haben.
In Anlehnung an die Additions-Quadrate bieten sich die folgenden beiden Änderungsprinzipien an:
1. Jedes Feld wird mit derselben Zahl c multipliziert (c ϵ ℚ). Die magische Zahl ist dann a3b3c3. 🔎
2. Folgende Operationen werden auf das magische Quadrat angewendet: 🔎
Die magische Zahl bleibt dabei unverändert. Allerdings zeigt sich bei genauerem Hinsehen, dass diese Variante nur eingeschränkt sinnvoll ist. Denn in einigen Fällen treten einige Zahlen anschließend mehrfach auf die Bedingung, dass jede Zahl nur einmal auftritt, ist dann nicht mehr erfüllt. Auch kann es passieren, dass dies lediglich eine schlichte Permutation des vorhandenen Quadrats erzeugt.
All das lässt sich an einigen Beispielen leicht zeigen. Und diese Beispiele erweisen sich als durchaus beweiskräftig sie tragen über das Beispiel hinaus, bilden die Basis für einen überzeugenden beispielgebundenen Beweis.
Fazit
Begeistert hat mich der Prozess, in dem meine Schülerinnen und Schüler im Wechselspiel miteinander Zusammenhänge entdeckt, Erkenntnisse gewonnen und ein kleines Stück Mathematik erkundet haben (s. auch Abb. 3 🔎 ). Die zu Tage tretenden Strukturen hinter den magischen Quadraten haben mich selbst fasziniert. Und sicher gibt es hier noch mehr zu entdecken.
Literatur
Malle, G. (2001): Mauern und Quadrate mit Zahlen. Entdecken und Begründen mit Variablen. Mathe-Welt In: mathematik lehren, Heft 110, Friedrich Verlag, S. 23 46.
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