6. – 8. Schuljahr

Ulf-Hermann Krüger

Argumentieren lernen

Aufeinander aufbauend mit Unterstützung durch Kompetenztrainings

Ein Kompetenzaufbau zum Argumentieren vollzieht sich in mehrere Phasen (Bruder/Pinkernell 2011). In der „intuitiven Phase gewöhnen sich die Schülerinnen und Schüler durch das Lehrervorbild schrittweise an sprachlich-logische und fach-inhaltlich korrekte Argumentationen. In der „bewussten Phase führen die Lernenden Begründungen nach den fünf Grundtypen durch (s. Kasten 1, formuliert für Lernende der 6. Klasse).
Kasten 1: Argumentieren was ist erlaubt?
Kasten 1: Argumentieren was ist erlaubt?
Beim mathematischen Argumentieren darfst du:
  • auf Vorwissen zurückgreifen
  • auf eine Definition Bezug nehmen
  • einen Satz oder gültigen Zusammenhang nutzen
  • ein Verfahren anwenden (z.B. etwas ausrechnen)
  • ein Beispiel angeben (bei Existenz-Aussagen wie zum Beispiel „Es gibt ein …“)
  • ein Gegenbeispiel angeben (beim Widerlegen von All-Aussagen wie etwa „Jedes …“ oder „Für alle gilt …“).
Zulässige Argumente sind also mathematische Begriffe, Sätze und Verfahren. Diese musst du beim Begründen erkennen und anwenden können. Die zulässigen Argumente ergeben dann auch die zulässigen Begründungstypen.
Sie lernen, mathematische Argumentationsketten zu verstehen, nachzuvollziehen und wiederzugeben. Sie prüfen und vervollständigen mehrschrittige Argumentationsketten und können letztlich auch selbstständig Argumentationsketten aufbauen.
Argumentieren lernen in regelmäßigen Trainings
Wie kann man der allgemeinen Kompetenz „Argumentieren in einem an Inhalten orientierten Mathematikunterricht einen solch prominenten Platz einräumen, dass es gelingt, neben Handlungskompetenz auch intelligentes Wissen sowie Reflexionsfähigkeit und Metakompetenz (Bewusstwerden über das Argumentieren) zum Argumentieren auszubilden? Wir haben uns im Projekt Lerngelegenheiten für mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problemlösen (LEMAMOP) mit dieser Frage auseinandergesetzt und für jedes Schuljahr ein Kompetenztraining entwickelt und erprobt.
In den Kompetenztrainings zum Argumentieren geht es einerseits um die Klärung des Unterschieds zwischen einer alltäglichen und einer mathematischen Argumentation. Welche Argumente sind in der Mathematik zulässig? (Der Vergleich von Argumenten im Alltag mit dem Vorgehen in der Mathematik spielt vorwiegend ab Klasse 7 eine Rolle.) Andererseits geht es um einen sich über die Schuljahre hinweg aufbauenden Erkenntniszuwachs zu den in der Mathematik gültigen Schlussweisen vom „Rückgriff auf Bekanntes bis hin zum „Widerspruchsbeweis in Argumentationsketten (s. Kasten 2).
Kasten 2: Trainingsschwerpunkte zum Argumentieren
Kasten 2: Trainingsschwerpunkte zum Argumentieren
Klasse 5: Einfache, eher intuitive Argumentation; Einführung der drei Begründungstypen mit Beispielen aus Arithmetik und Geometrie:
  • Rückgriff auf Vorwissen,
  • Angabe eines Gegenbeispiels,
  • Angabe eines Beispiels bei Existenzaussagen
Klasse 6: kurze und einfache mehrschrittige Argumentationsketten, Ausbau der Fachsprache in Argumentationen wie in Klasse 5; Einzelschritte in Argumentationsketten prüfen und mit eigenen Worten begründen
Klasse 7: erste Abgrenzung des mathematischen Argumentierens gegen das Argumentieren im Alltag, einfache Argumentationsketten nachvollziehen, erste Schritte zum formalen Begründen
Klasse 8: nachvollziehen und überprüfen mehrschrittiger Argumentationsketten; Wenn-dann-Aussagen; zunehmende Formalisierung von Schlüssen
Klasse 9: Abgrenzung des mathematischen Argumentierens gegen das Argumentieren im Alltag; Vervollständigen einer einfachen Argumentationskette und Aufstellen sehr kurzer, einfacher Ketten
Klasse 10: Abgrenzung des mathematischen Argumentierens gegen das Argumentieren im Alltag; Vervollständigen einer einfachen Argumentationskette und Aufstellen kurzer Argumentationsketten
ab Klasse 11: Steigerung der Komplexität von Argumentationsketten
In jeder Jahrgangsstufe sollten möglichst solche Argumente bzw. Argumentationstypen explizit werden, zu denen es bereits Vorerfahrungen aus unterschiedlichen Unterrichtsthemen gab. Auch sind entwicklungspsychologische Besonderheiten der Jahrgangsstufen bezüglich der im Allgemeinen verfügbaren Abstraktionsfähigkeiten bei der Konzeption der Trainings zu berücksichtigen. Kasten 2 zeigt, welche Argumente bzw. Argumentationstypen als explizite Trainingsinhalte den einzelnen Klassenstufen zugeordnet wurden.
Das Kompetenztraining zum Argumentieren folgt in jedem Jahrgang der gleichen Struktur und ist in vier Phasen gegliedert (vgl. Kasten 3).
Kasten 3: Aufbau der Kompetenztrainings zum Argumentieren
Kasten 3: Aufbau der Kompetenztrainings zum Argumentieren
Jedes Kompetenztraining zum Argumentieren umfasst vier Unterrichtsstunden und besteht aus vier Phasen:
Phase 1: Argumente kennenlernen (Identifizierungshandlung)
Phase 2: Argumente benennen (Realisierungshandlung)
Phase 3: Argumentationstraining (Aufbau von Handlungskompetenz)
Phase 4: Trainingsrückblick (Förderung von Metakompetenz).
Aufbau des Trainingsrückblicks
Aufgabe 1 (Identifizierungshandlung): Die neu kennengelernten Argumente bzw. Begründungstypen sollen in einem gegebenen Beispiel erkannt, benannt und ggfs. beschrieben werden. „Argumente identifizieren
Aufgabe 2 (Realisierungshandlung): Hier wird eine Argumentation mit Hilfe der neu kennengelernten Argumente bzw. Begründungstypen gelöst. „Argumentationen durchführen
Aufgabe 1 und 2 dienen der Festigung intelligenten Wissens.
Aufgabe 3 (sprachliche Repräsentation): Mit dieser Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler den Kern des neu Erarbeiteten (kennengelernte Argumente bzw. Begründungstypen) mit eigenen Worten an einem Beispiel erläutern. Sie zeigen somit Handlungskompetenz.
Aufgabe 4 (Individuelle Reflexion): Bei höheren Jahrgängen steht hier eine Aufgabe, in welcher auf individuelle Präferenzen, wiederkehrende Schwierigkeiten oder „typische Fehler eingegangen wird. Metakompetenz wird erarbeitet und gefestigt. Typische Fragestellungen sind zum Beispiel:
Erkläre die Bedeutung der Halbsätze von „Wenndann-Aussagen beim Argumentieren.
Welche Aufgaben sind dir leichtgefallen, welche waren schwierig?
Benenne Schwierigkeiten bei der Aufstellung von Argumentationsketten.
Welche Grundtypen für das Argumentieren kennst du?
Erfahrungsgemäß sollte der „Trainingsrückblick besser mit einem gewissen zeitlichen Abstand zu den Aufgaben der ersten drei Phasen erfolgen. Die Materialien der Kompetenztrainings (Klasse 6: Arbeitsblatt 1 bis 3 🔎 🔎 🔎 🔎) sind kein reines „Selbstlernmaterial, immer wieder wird die Lehrperson an geeigneter Stelle im Plenum einen Austausch anregen oder auch neue Begriffe (etwa „mehrstufige Argumentationskette) einführen.
Charakteristische und wiederkehrende Aufgabentypen im Trainingsrückblick fokussieren die Reflexion auf den zentralen Kern des jeweiligen Trainings (Beispiele s. Kasten 3 unten). In der Regel in vier Aufgaben wird auch im Trainingsrückblick die Identifizierungs- und die Realisierungshandlung, die Handlungskompetenz und schließlich die Metakompetenz gefestigt.
Sehr viel konkreter (aber nicht minder wichtig) ist die Reflexionsphase im Anschluss an Aufgabe 1 (und ggf. Aufgabe 2). Auch hier sollen die Schülerinnen und Schüler eine Metaposition einnehmen. Diese bezieht sich aber auf die gerade kennengelernten und erlebten neuen Begriffe, neue Verfahren Auch hier stellt die Moderation durch die Unterrichtenden eine besondere Anforderung dar, weil hier ausgehend von den Aufgaben die Reflexion auf einer Metaebene erreicht werden soll.
Ein Blick in Klasse 6; mehrschrittige Argumentationen
Ausgehend von den drei (einschrittigen) Argumentationstypen der Klasse 5 werden nun Argumentationen mit mehr als einem Schritt eingeführt (Arbeitsblatt 1). Die Schülerinnen und Schüler argumentieren in Aufgabe 1 zunächst mit den (definierenden) Merkmalen eines bekannten Begriffs (gleichseitiges Dreieck), indem sie All- und Existenzaussagen prüfen. Im anschließenden Unterrichtsgespräch benennen sie die Begründungstypen. Bei dieser Aufgabe bewegen sie sich auf Phase 1 (Argumente vereinbaren, Identifizierungshandlung). Aufgabe 2 zeigt eine komplexere Begründung. Diese ist schwieriger als die einschrittigen Begründungen bei Aufgabe 1 eben weil mehrere Argumente benötigt werden. So wird der Begriff der mehrschrittigen Argumentation entwickelt. In den folgenden Aufgaben werden mehrschrittige Argumentationen im Wesentlichen geprüft und analysiert, zum Teil auch selber entwickelt (an Inhalten der Geometrie und der Arithmetik). Voraussetzungen sind die Sätze über Winkel an parallelen Geraden und in Dreiecken sowie Kenntnisse über die Symmetrie bei Dreiecken.
Ein Blick in Klasse 7: „Wenn-dann-Aussagen
Hier werden keine neuen Argumentationstypen eingeführt. Ausgehend von den Argumentationsketten in Klasse 6 werden „Wenn-dann-Aussagen mit mehr als einem Schritt thematisiert. Diese werden im Wesentlichen geprüft und analysiert, zum Teil auch selber entwickelt. Das Ziel dabei ist, „Wenn-dann-Aussagen und die Bedeutung der Argumentationsbasis bzw. der Voraussetzungen bei einer mathematischen Argumentation für die Schülerinnen und Schüler besonders hervorzuheben. Die Lernenden argumentieren durch mehrschrittige Argumentationsketten, die dann im Unterrichtsgespräch mit Hilfe von „Wenn-dann-Aussagen genauer strukturiert werden (Beispielaufgabe 🔎). Weitere Aufgaben im Training fordern die Formulierung von Wenn-dann-Aussagen.
Ein Blick in Klasse 8: „Wenn-dann-Aussagen
In diesem Jahrgang dient das Kompetenztraining zum Argumentieren dazu, die bisherigen Begründungstypen aufzugreifen und zu verbinden. Es werden keine neuen Begründungstypen eingeführt. Das Kompetenztraining verläuft in den bekannten vier Phasen. Mit den Aufgaben des Einstiegs wiederholen die Schülerinnen und Schüler die Begründungstypen Angabe eines Beispiels (bei Existenz-Aussagen), Angabe eines Gegenbeispiels (bei All-Aussagen) und Rückgriff auf Vorwissen. Diese werden in Argumentationsketten verwendet. Zudem werden „Wenn-dann-Aussagen angewandt (Begründungstypen anwenden 🔎, Aufgabe 1). Im Training verwenden die Lernenden mathematische Argumentationstypen bewusster. Die Schlüsse werden dabei zunehmend formaler. In der Phase 3 (Argumentationstraining) werden verschiedene Sachgebiete der Mathematik berührt. So zeigt die zweite Aufgabe in Begründungstypen anwenden eine Aufgabe zur Geometrie, bei der die Beweisschritte selber gefunden werden müssen.
Erste Erfahrungen mit den Kompetenztrainings
Die ersten unterrichtlichen Erfahrungen mit den Kompetenztrainings wurden während ihrer Entstehung gemacht und in den Prozess der Weiterentwicklung mit eingeflochten. Wie sich zeigte, ist die wesentliche Schwierigkeit für die Schülerinnen und Schüler das Nachdenken über das Argumentieren. Dieses ist nicht nur ungewohnt, es ist auch objektiv schwierig.
Daneben hat sich aber auch gezeigt, dass ein Bewusstmachen von Argumentationen bei einer ganzen Reihe von Schülerinnen und Schülern ganz neue Einsichten ermöglicht hat. Die Universalität der Begründungstypen war für die meisten Schülerinnen und Schüler eine neue Erfahrung. Auch deshalb konnten wir eine Nachhaltigkeit der Kompetenztrainings deutlich beobachten: Die Schülerinnen und Schüler konnten im „normalen Unterricht wie selbstverständlich auf Argumentationsweisen des Trainings zurückgreifen. Das Verständnis der Mathematik wurde damit erhöht.
Die Trainings greifen bevorzugt auf zuvor gesicherte Inhalte der vergangenen Jahrgangsstufen zurück und genügen damit auch dem Anspruch einer Vernetzung: Oft lassen sich zurückliegende Themen dadurch in einen Zusammenhang stellen, dass Aufgaben unterschiedlicher Inhalte mit denselben Begründungstypen bearbeitet werden können. Die damit verbundene Wiederholung von länger zurückliegenden Grundlagen konnte auch skeptische Kolleginnen und Kollegen überzeugen, dass die vier Stunden des Kompetenztrainings eine sehr gute Investition sind.
Ein Nebeneffekt der Kompetenztrainings war, dass eine unerwartet große Bandbreite an Schülerlösungen zu beobachten war. Weil die Aufgaben von aktuellen Inhalten entkoppelt waren und die Schülerinnen und Schüler zu eigenen Lösungen ermuntert und aufgefordert wurden, konnten diese ihrer Kreativität freien Raum lassen. Die Bandbreite der vielen unterschiedlichen Ideen erstreckte sich dabei über die gesamte Leistungsbreite, sodass nicht nur leistungsstarke, sondern auch leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler von den Kompetenztrainings profitierten.
Aus den Erprobungsberichten der Lehrkräfte geht hervor, dass die Kompetenztrainings auch die eigene Sicht auf die prozessbezogenen Kompetenzen schärfen und für eine entsprechende Sensibilisierung der Lehrkräfte sorgen. So finden sich nach der Durchführung der Trainingseinheiten unwillkürlich immer wieder Anknüpfungsmöglichkeiten im eigenen Unterricht. Die Nachhaltigkeit der Kompetenztrainings sollte Anlass dafür sein, den prozessbezogenen Kompetenzen auch im Regelunterricht einen größeren Raum zu geben. Der wesentliche Punkt in diesem Zusammenhang ist dabei die bewusste Einnahme einer „Metaebene, also eine bewusste Reflexion über die Kompetenz Argumentieren.
Eine individuelle Sicherung ist die entscheidende Voraussetzung für eine verallgemeinernde Reflexion mit den Lernenden. So, wie die Sicherung dann auch möglichst losgelöst von konkreten Aufgaben zum Aufbau von Feldorientierung angestrebt wird, ist auch der regelmäßige Rückbezug auf Kompetenzen während des Schuljahres wichtig, um die langfristig gewünschte Verallgemeinerung und Transferfähigkeit zu unterstützen.
Literatur
Bruder, R/Pinkernell, G. (2011): Die richtigen Argumente finden. In: mathematik lehren Heft 168, Friedrich Verlag, S. 2 – 7
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