10. – 12. Schuljahr

Luca Grünewald

Kürzeste Wege auf der Straßenkarte

Problemlösekompetenzen können auch in Übungsphasen gefördert werden, wenn erarbeitete mathematische Grundlagen zu einem bestimmen Thema auf unbekannte Situationen zu übertragen sind. Im Folgenden werden ausgewählte Unterrichtsmaterialen zur Förderung von Problemlösekompetenzen im Kontext kürzester Wege auf einer Straßenkarte mit Manhattan-Metrik (Leitidee: Daten und Zufall) für einen Grund- oder Leistungskurs der Klasse 12 vorgestellt 🔎. Werden die Schülerinnen und Schüler beim Lösen des vorliegenden kombinatorischen Zählproblems ihr zurückliegendes Wissen aktivieren und neue Vernetzungen finden können?
Strategien bewusst einsetzen
Die Unterrichtsstunde ist als Transfer des Zählproblems Ungeordnete Stichprobe ohne Wiederholung einzuordnen. Dabei sollen sich die Schülerinnen und Schüler zunächst eine Strategie überlegen, mit deren Hilfe sie die Anzahl der kürzesten Wege zwischen zwei vorgegebenen Kreuzungen (bzw. Gebäuden) bestimmen (Aufgabe 1). Hierbei gibt es mehrere Möglichkeiten, z.B.:
Abzählen (systematisches Probieren)
Zerlegen in Teilschritte und Vorwärtsarbeiten (Anzahl der kürzesten Wege zu den vom Startpunkt aus umliegenden Straßenkreuzungen)
Suchen nach Mathematisierungen (Identifizieren des Zählproblems Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge (= ZoZoR) und Anwenden des Binomialkoeffizienten)
Strategie 1 kann die Lösungsfindung für größere Wegstrecken erschweren, während die Strategien 2 und 3 auch hierbei zielführend sind. Neben den Arbeitsaufträgen stehen den Lernenden auch Hilfekarten zur Verfügung. Insgesamt sind ohne Einschränkungen 70 kürzeste Wege zwischen dem Empire State Building und dem Hotel möglich (Aufgabe 2).
Aspekte des Problemlösens
  • Informative Figur nutzen und Wege einzeichnen
  • Rückführen auf Bekanntes: Kombinatorische Formeln nutzen (ZoZoR)
  • Gesetzmäßigkeit innerhalb eines Straßenblockes erkennen, Vorwärtsarbeiten
  • Zerlegen des Problems in Teilprobleme (Zerlegungsprinzip), gegebenenfalls Beachtung von Symmetrieaspekten in der Fragestellung
Aspekte für die Sicherungsphase
  • Welche Strategien haben euch geholfen, welche waren eher hinderlich?
  • Welche Straßenkreuzung könnte alternativ gesperrt sein, sodass die Zahl der kürzesten Wege genauso groß bleibt?
  • Wie unterscheiden sich die Zählverfahren bei den Wahlaufgaben „gesperrte Straße und „Checkpoint anfahren?
  • Welchen Einfluss hat die Lage der Checkpoints auf die Zahl der kürzesten Wege?
  • Übertragt eure Ergebnisse auf die Realität. Wenn es im Radio heißt, dass eine bestimmte Straße gesperrt ist, wie denkt ihr nun darüber?
  • Wie kann die Zahl der kürzesten Wege bei gesperrten Kreuzungen oder anzufahrenden Checkpoints mit dem Binomialkoeffizienten beschrieben werden?
  • Welches kombinatorische Zählproblem liegt hier eigentlich vor und wie kann man das gegebenenfalls nutzen?
Unterwegs in Midtown Manhattan (New York)
🔎 Stellen Sie sich vor, Sie machen gemeinsam mit Freunden einen Kurztrip nach New York. Ein gängiges Fortbewegungsmittel dort sind die gelben Taxis (engl. cabs), die Sie vom Start zum Ziel bringen, indem sie auf dem kürzesten Weg fahren. 🔎
1. Sie wollen mit dem Taxi vom Empire State Building zum Konsulat fahren. Entwickeln Sie mit Hilfe der obigen Straßenkarte eine Strategie, mit der Sie die Zahl der kürzesten Wege vom Empire State Building zum Konsulat bestimmen können.
Hinweis: Überprüfen Sie Ihre gefundene Strategie an weiteren Kreuzungen.
2. An einem anderen Tag haben Sie die Stadt zu Fuß erkundet und kommen am Empire State Building an. Der Taxifahrer vom letzten Mal will Sie wieder mitnehmen und fährt auf dem kürzesten Weg von dort zum Hotel.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Strategie aus Aufgabe 1 die Zahl der möglichen kürzesten Wege vom Empire State Building zum Hotel.
Hinweis: Falls Ihre Strategie aus Aufgabe 1 nicht hilfreich ist, können Sie die Hilfekarten 🔎 zu Rate ziehen.
3. Heute gibt es auf dem Weg eine der folgenden Einschränkungen (Sie haben die Wahl): 🔎
Einschränkung 1: Eine Straßenkreuzung ist gesperrt.
Einschränkung 2: Eine Straßenkreuzung soll auf jeden Fall angefahren werden.
Erläuteren Sie in Abhängigkeit von Ihrer Wahl, welchen Einfluss die gewählte Einschränkung auf die Zahl der kürzesten Wege vom Empire State Building zum Hotel hat.
4. Begründen Sie mit Ihrem bisherigen Wissen über kombinatorische Zählverfahren, welches Zählproblem bei der in Aufgabe (2.) dargestellten Suche nach der Zahl der kürzesten Wege vorliegt und überprüfen Sie damit Ihre bisherigen Ergebnisse. Hinweis: Falls Sie diese Strategie bisher gewählt haben, bearbeiten Sie die Zusatzaufgabe.
Zusatz (mindestens zwei Teilaufgaben):
a) Bestimmen Sie die Zahl der kürzesten Wege auf dem in Aufgabe 2 beschriebenen Weg zwischen Start und Ziel, wenn mehr als zwei Kreuzungen gesperrt sind.
b) Bestimmen Sie die Zahl der kürzesten Wege von der Post zur U-Bahn-Station.
c) Bei der Heimfahrt wird der Weg vom Hotel zur U-Bahnstation betrachtet. Es werden Zwischenstopps bei der Post und bei der Bank gemacht. Bestimmen Sie die Zahl der kürzesten Wege unter Berücksichtigung dieser Einschränkung.
d) Angenommen, es müssen m Straßenabschnitte in horizontaler und n Straßenabschnitte in vertikaler Richtung befahren werden. Bestimmen Sie die Zahl der kürzesten Wege für diese Situation. 
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