11. – 13. Schuljahr

Holger Reeker

Was ist größer?

Funktionen vergleichen und das Wachstum erforschen

„Nichts wächst so schnell wie exponentiell! Diese Faustregel ist gut, genaues Hinschauen ist jedoch besser. Anhand einiger Aufgaben möchte ich verdeutlichen, wie ein rechnergestützter Zugang (Graphen zeichnen, Werte berechnen, Integrale bestimmen) helfen kann, Vermutungen zu Funktionseigenschaften aufzustellen und tiefere Einsichten in die Analysis zu gewinnen.
Was ist größer: eπ oder πe?
Die scheinbar kuriose Frage ist Ausgangspunkt einer Unterrichtssequenz. Werden hier zwei der wichtigsten Konstanten der Mathematik zufällig verknüpft? Und ändert sich die Antwort, wenn man die Zahl π durch andere Werte x ersetzt? Trotz intensiver numerischer Berechnungen ändern sich die Schülerantworten qualitativ nicht und das Problem ist gestellt wieder scheint sich zu bestätigen: nichts wächst so schnell wie exponentiell! ex ist immer größer als xe. Doch erst nachdem alle das Problem intensiv erkundet und das Wachstumsverhalten diskutiert haben, gebe ich den Tipp, die Terme πe und eπ mit $$\frac{1}{\pi \cdot \mathrm{e}}$$zu potenzieren und die Funktion f(x) = x1/x mit dem Rechner zu untersuchen. Beim Entdecken des Hochpunkts an der Stelle e liegen Erkunden und Beweisen ganz nah zusammen eine Dokumentation des Erkundungsprozesses ist fast identisch zu einer Beweisskizze. (In diesem Zusammenhang sollte man kurz die Bedeutung der Variablen e, π, x reflektieren. Und: 2x und πx sind auch Exponentialfunktionen, obwohl kein e vorkommt; ex + e ist abgeleitet nicht ex + e.)
Im Leistungskurs kann dann der Funktionsterm als Exponentialfunktion zur Basis e geschrieben (Arbeitsblatt 1 🔎) und der Hochpunkt via Differentialrechnung ermittelt werden. Als vernetzende Anwendung wird der Funktionsgraph genauer betrachtet; mit ihm kann man untersuchen, welche ganzzahligen Lösungen die Gleichung x  y = y  x hat. Gibt es außer (2|4) und (4|2) weitere?
Was ist steiler: x oder xx?
Vermutungen sammeln
Bei einer intuitiven Abfrage zu Beginn antworteten alle Schüler, dass xx natürlich viel stärker wachse zumindest langfristig. Doch wie sieht das Verhalten im Intervall [0;1] aus? Gibt es Schnittpunkte und Extrema? (Abb. 1 🔎 ) In meiner Klasse lasse ich die Lernenden ihre Antworten und Begründungen kurz verschriftlichen. An den Begründungen und Skizzen lassen sich viele Schülervorstellungen (und auch manche Fehlvorstellungen ablesen). Später kann dann jeder seine Entwicklung mit dem vorherigen Kenntnisstand vergleichen und hat gleichzeitig eine Rückmeldung zum neu Erlernten.
Bei der Untersuchung der Funktion f mit f(x) = xx lassen sich mit Rechnerhilfe Fragen und Ideen gewinnen:
Warum ist das Verhalten von f(x) = xx so seltsam, wenn x gegen 0 strebt?
Warum fällt der Funktionsgraph teilweise?
Und für ganz Schnelle: In welchem Verhältnis stehen x(x^x) und (xx)x?
Nach dem Untersuchen der Graphen kann durch Umschreiben der Funk-tion zur Exponentialfunktion mit Basis e und Bilden der ersten Ableitungsfunktion eine genauere Begründung für das Phänomen erarbeitet werden.
Wissen sichern und verankern
Mit dem Rechner hat jeder schnell ein paar Werte berechnet und sich mit einem Graphen ein erstes Bild von der Aufgabe gemacht. Doch wie lässt sich nach der Erkundung die Motivation produktiv weiter nutzen? Um einer „Gesehen und abgehakt-Mentalität vorzubeugen, fordere ich eine Dokumentation im Heft (Skizzen per Hand, um das Steigungs- und Krümmungsverhalten genauer zu erfassen) und die Bearbeitung vertiefender Anschlussfragen, wie:
Wie viele Schnittpunkte gibt es von f(x) = xx und g(x) = x?
Wie viele Wendepunkte hat der Graph der Funktion h mit h(x) = x1/x
und wo liegen diese?
Die Anschlussfragen lassen sich bewusst nicht allein mit Hilfe des Rechners beantworten: Beim Hinein-Zoomen erkennt man keinen Schnittpunkt, und die Wendepunkte sind auf dem Display schwer zu erkennen erst eine Argumentation zum globalen Funk-tionsverlauf lässt Wendepunkte erkennen, und ein Vergleich mit den Wurzelfunktionen macht deutlich, dass es nur einen Schnittpunkt gibt. Die Schülerinnen und Schüler erleben hier, wie sich eine Visualisierung durch den Rechner und eine algebraische Untersuchung der Funktionsterme sinnvoll ergänzen. Im Unterricht ist es immer wieder eine Herausforderung, vom „leichten am-Rechner-Spielen zur „schweren Mathematik des Argumentierens zu wechseln.
Was ist größer: cos(sin(x)) oder sin(cos(x))?
Weil die Frage ungewohnt ist und niemand so recht glaubt, dass man die Frage so pauschal beantworten kann, ist die Motivation für eine rechnergestützte Visualisierung groß. Wenn die Graphen skizziert und die Funktionen zugeordnet sind, dann sollte die Zeit für Anschlussfragen genutzt bzw. die entstandenen Vermutungen diskutiert werden: Warum ist ein Graph so hochgerutscht, warum ist die Periode verkürzt, was führt dazu, dass ein Graph permanent über dem anderen liegt?
Der Mehrwert dieses Beispiels liegt in einer Vertiefung der Symmetrie und Periodizität der bekannten trigonometrischen Funktionen und in den vielen Möglichkeiten zur Begründung dieses Phänomens (geometrisch, mit Differenzialrechnung vgl. Arbeitsblatt 2).
Wie viele Extrema hat die Funktion sin(4x) · sin(5x)?
Wie ein Kunstwerk liegt der Graph von sin(4x) · sin(5x) im Koordinatensystem (Abb. 2 🔎 ). Nach ausführlicher Diskussion ganzrationaler Funktionen hatte keiner in meiner Lerngruppe mit so vielen Extrempunkten gerechnet. Am Rechner lassen sich Funktionsgraphen zeichnen und erkunden, die manuell nicht so leicht erfassbar sind (Erweiterung von Funktionsklassen, prinzipielle Anwendbarkeit der Differentialrechnung auch mit numerischen Methoden).
Wie krumm ist der Graph?
Im Unterricht werden meist Links- und Rechtskurven beschrieben und bei „Steckbriefaufgaben sollen die gesuchten Funktionsgraphen knickfrei sein und keinen „Krümmungsruck besitzen. Doch die Frage „An welcher Stelle ist die größte Krümmung? lässt sich nicht so leicht beantworten. In GeoGebra kann man einen Punkt A auf den Graphen einer Funktion f legen und erhält mit dem Befehl Krümmung[A,f] ein Maß für die Krümmung. Wer die Krümmung einer Funktion f genauer untersuchen möchte, kann sich die Krümmungsfunktion
$$k_{f}\left (x\right )=\frac{f''\left (x\right )}{\left (\sqrt{1+f'\left (x\right )^{2}}\right )_{}^{3}}$$ zeichnen lassen.
Damit lässt sich begründen, dass bei einer Normalparabel der Scheitelpunkt die „gekrümmteste Stelle ist, während bei der Funktion f mit f(x) = x4 die Krümmungsfunktion an der Stelle 0 den Wert 0 hat (Abb. 3 🔎 ).
Numerik und Exaktheit
Aus Sicht der Schülerinnen und Schüler ist die Zahl e häufig eine „krumme Zahl, und sie erwarten, dass auch Integrationsaufgaben über Exponentialfunktionen keine ganzzahligen Ergebnisse liefern. Dieser Vorstellung versuche ich entgegenzuwirken, indem ich vor der Thematisierung der partiellen Integration mit dem grafikfähigen Taschenrechner experimentell ermitteln lasse, welche numerischen Werte sich für verschiedene n = 0, 1, 2 bei
bei Integrtion von Nullbis unendlich von xnexdx ergeben. .
Einerseits schauen die Schülerinnen und Schüler bei den Ergebnissen 1, 1, 2, 6, 24, 120 etwas ungläubig, andererseits entstehen Vermutungen über den Zusammenhang der Ergebnisse. Bei der Diskussion, ob der Taschenrechner wirklich bis unendlich gerechnet hat, begründen manche das exakte Ergebnis mit dem schnellen Abfall der Funktion („Nichts fällt so schnell wie exponentiell.). Aber es kommen auch (etwas problematische) Antworten vor: „Wenn bei einer Dezimalzahl die fünf Nachkommastellen alle 0 oder 9 sind, muss es eine ganze Zahl gewesen sein!
Fazit und Ausblick
Wird der Mathematikunterricht mit dem Rechner immer einfacher? Können die Schülerinnen und Schüler nicht mehr von Hand rechnen? Und leidet mal wieder die Studierfähigkeit? Vielleicht sind alle Antwortkombinationen möglich: Man kann mithilfe des Rechners sehr anspruchsvolle Mathematik in den Unterricht bringen und verständnisorientiert arbeiten, indem nach Phasen des Erkundens und Visualisierens wieder die Kernfragen der Analysis thematisiert werden. Deswegen ist es so wichtig, gute Aufgaben zum Erkunden mit dem Rechner zu haben und gleichzeitig zur rechten Zeit aufzuzeigen, wo die Grenzen des Rechners erreicht sind und man die Kraft der Mathematik nutzen sollte. Denn der Rechner kann nicht bis unendlich rechnen, die Jugendlichen im Prinzip schon
Abb. 1: Die Funktionen g(x) = x und f(x) = x^x
Abb. 2: Die Funktion sin(4x) ? sin(5x)
screenshot: GeoGebra/www.geogebra.org
Abb. 3: Die Funktion f(x)=x^4 und ihre Krümmungsfun?ktion
screenshot: GeoGebra/www.geogebra.org