10. – 13. Schuljahr

Andrea Hoffkamp

Hineingezoomt

Mit dem Funktionenmikroskop zum Ableitungsbegriff

Der Ableitungsbegriff hat verschiedene Aspekte, von denen jeder eine jeweils eigene Vorstellung zur Ableitung betont und grundsätzlich für den Einstieg gewählt werden kann. Während früher vor allem ein rein geometrischer Zugang über das Tangentenproblem favorisiert wurde, wird derzeit in vielen Schulbüchern und Lehrplänen das Grundverständnis von Ableitung als lokale Änderungsrate ins Zentrum gerückt. Beide Zugänge, die natürlicherweise miteinander kombiniert werden, bringen Schwierigkeiten mit sich, die vor allem auf dem Grenzwertbegriff beruhen. So erscheint die Einführung der Tangente in einem Punkt als Grenzlage von Sekanten den Schülerinnen und Schülern oft wie eine „eigenständige, gleichsam vom Himmel fallende geniale Idee (Dankwerts/Vogel, 2006, S. 47), und der Grenzübergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate als abstrakter formaler Schritt lässt Lernende oft an der Existenz der Momentangeschwindigkeit und ähnlicher Konstrukte zweifeln (Friedrich, 2013).
Der Ableitungsbegriff und die Idee der lokalen Linearität
Die hier vorgestellte Einführung des Ableitungsbegriffs beruht auf der Idee des Funktionenmikroskops von Arnold Kirsch. Dieser Zugang fördert die Vorstellung der lokalen Linearität einer differenzierbaren Funktion:
„Bei genügend starker Vergrößerung erscheint die Funktion f im Bildfeld des Mikroskops praktisch als lineare Funktion, d.h. ihr Graph ist nicht mehr unterscheidbar von einer Geraden []. Der Zahlwert dieser Geradensteigung [] heißt naturgemäß die Steigung (des Graphen) der Funktion f an der Stelle a; er wird mit f '(a) bezeichnet.
(Kirsch, 1979, S. 27)
Beim visuellen „Hineinzoomen an einem Punkt des Graphen wird der Grenzübergang rein intuitiv-visuell und phänomenologisch betrachtet. Die Tangente als „Schmiegegerade wird dabei als „Verlängerung des betrachteten kleinen Ausschnitts des Graphen plausibel gemacht.
Während Arnold Kirsch mit Overhead-Folien (Kirsch, 1980) im frontal gelenkten Unterrichtsgespräch gearbeitet hat, bietet heute die Nutzung geeigneter Programme die Möglichkeit, die Schülerinnen und Schüler selbst auf Erkundungsreise zu schicken. In einem zweiten Schritt bieten Programme wie GeoGebra die Möglichkeit der numerischen Approximation, welche gerade in Auseinandersetzung mit den Grenzen der Software zu einem produktiven Unterrichtsgeschehen führen kann.
Einstieg in die Arbeit mit dem Funktionenmikroskop
Nachdem im Unterricht die Steigung von Geraden und deren Interpretation als mittlere Änderungsraten behandelt wurden, wenden wir uns der Steigung von allgemeineren Kurven zu. (Ich sehe hier von der Einführung des exakten mathematischen Begriffs „Kurve ab.) Im gelenkten Unterrichtsgespräch arbeiten wir anhand der Einstiegsaufgabe auf Arbeitsblatt 1 🔎 (nach Dolan u.a., 1990) heraus:
Bei Kurven kann sich die Steigung verändern, wenn man sich entlang der Kurve bewegt. Deswegen spricht man von der Steigung in einem Punkt. Die Steigung in einem Punkt kann man anhand der Stellung der Skier „ablesen.
Die Skier fungieren im weiteren Verlauf gleichsam als Metapher für die Tangente an einem Punkt des Funk-tionsgraphen. Mit einem entsprechenden Programm kann man Abschnitte von Funktionsgraphen vergrößern, indem man hineinzoomt, d.h. den gezeigten Ausschnitt im Koordinatensystem entsprechend verändert. Um den Funktionsgraphen anzeigen zu lassen, gibt man die Funktionsgleichung in die Eingabezeile ein. Um zu zoomen, verwendet man bei GeoGebra entweder das Zoom-Werkzeug aus der Werkzeugleiste oder das „Rädchen an der Maus.
Aufgabe 3 auf Arbeitsblatt 1 , deren Bearbeitung man je nach Unterrichtsverlauf an geeigneten Stellen unterbrechen kann, hat sich zur eigenständigen Bearbeitung am Computer bewährt. Die Ableitung wird hier als lokales Phänomen eingeführt. Das Hineinzoomen ist dabei eine Metapher für die Grenzwertbildung. Außerdem wird ganz natürlich an die Steigung von Geraden angeknüpft.
Während die lokale Linearität im Punkt A allen Schülerinnen und Schülern plausibel erscheint, vermuten sie bei Aufgabe 3b, der Graph bliebe auch beim Hineinzoomen „gebogen. Dass dies nicht der Fall ist und dass sogar eine waagerechte Gerade entsteht (Abb. 1 🔎 ), war eine wirkungsvolle Überraschung! Die Frage, bei welchem weiteren Punkt (außer B) ebenfalls eine „waagerechte Linie entsteht, schafft bereits gute Anknüpfungspunkte zur Untersuchung charakteristischer Stellen von Funktionen. Unser erstes Zwischenergebnis lautet:
Wenn ein Funktionsgraph beim Hineinzoomen an einem Punkt „schließlich wie eine gerade Linie aussieht, dann ist die Funktion lokal linear an diesem Punkt.
Weitere Funktionen unter der Lupe
Es liegt nahe, weitere Funktionen genauso zu untersuchen (Arbeitsblatt 1, Aufgabe 4). Die erste Funktion f mit $$f\left (x\right )=\sqrt{x^{2}}$$ist die in x = 0 nicht differenzierbare und deshalb in x = 0 nicht lokal lineare Betragsfunktion (mit Absicht in dieser Form geschrieben). Zum einen erscheint die Funktion |x| den Lernenden oft als „konstruiertes Beispiel, während die Schreibweise $$\sqrt{x^{2}}$$auf vertraute Operationen zurückgreift. Zum anderen bietet dies einen Anlass, über die Betragsfunktion und ihre Darstellung als Term zu diskutieren.
Die Funktion g mit g(x) = 100x2 ist eine stark gestreckte Parabel die Lernenden erkennen, dass selbst diese im Scheitelpunkt lokal linear ist, obwohl sie „so spitz aussieht.
h(x) = |x2 4| ist an zwei Stellen (x = 2, x = 2) nicht lokal linear. Auch hier lässt sich die Form des Graphen anhand charakteristischer Stellen (hier vor allem die Nullstellen) diskutieren. Auch bei $$s\left (x\right )=sin\left (x\right )+\frac{1}{50}sin\left (100\cdot x\right )$$kann man Zweifel über die lokale Linearität erwarten.
k(x) = x2 – 4,3x – 0,1|x – 2|+16 ist ein interessantes Beispiel (von A. Kirsch, 1980): Erst beim Hineinzoomen erkennt man einen Knick bei x = 2 und damit eine besondere Stelle, an der die Funktion nicht differenzierbar ist.
Die Aufgabe beinhaltet also Überraschungen die visuelle Wahrnehmung und die daraus entstehenden Erwartungen werden sehr lernwirksam „ent-täuscht. An vielen Stellen bieten sich zudem gute Ansatzpunkte für eine vertiefende Diskussion über die zu untersuchenden Funktionen. Der wesentliche Gehalt der Aufgabe besteht aber in Folgendem: Von Beginn an entdecken die Schülerinnen und Schüler auch nicht differenzierbare Funktionen. Sie verbinden die „Differenzierbarkeit an einer Stelle mit der lokalen Linearität, das „Gerade-Werden beim Hineinzoomen ist dabei eine einfache Metapher für Differenzierbarkeit. Und die Schülerinnen und Schüler verbinden die Nicht-Differenzierbarkeit damit, dass die Funktion nicht überall lokal linear ist. Erst durch dieses Unterscheidungsinteresse lohnt es sich, einen neuen Begriff den Ableitungsbegriff anzulegen.
Den Tangentenbegriff einführen
Im weiteren Verlauf des Unterrichts kommen wir auf die Skimetapher zurück: Wir stellen uns vor, wir könnten mit einem Teleskop den Skihügel beliebig dicht heranzoomen. Die Skier würden dann eine Tangente an den Skihügel bilden. Der Begriff „Tangente ist schon aus der Kreisgeometrie der Sek. I bekannt. Es sollte an dieser Stelle explizit gemacht werden, dass es sich hier um eine Erweiterung des bekannten Begriffes handelt.
Auch beim Hineinzoomen an einem Punkt eines Kreises erscheint der Kreis lokal linear, allerdings kann man einen Kreis nicht als Funktionsgraphen einer Funktion von ℝ nach ℝ betrachten wohl aber einen Halbkreis. An dieser Stelle wird eine Tangente zum ersten Mal per Hand skizziert. Dabei ist es zunächst noch nicht nötig, eine mathematisch strenge Definition zu liefern der Begriff lässt sich gut im weiteren Unterrichtsverlauf ausdifferenzieren: Wie hängt die Tangente an einen Funktionsgraphen mit der lokalen Linearität der Kurve an einem Punkt zusammen? (Arbeitsblatt 1, Aufg.4) Fazit dieser Aufgabe könnte sein: Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt ist gerade die Steigung der Tangente des Graphen an diesem Punkt. Hier erhalten wir also anschaulich die Tangente als „Schmiegegerade bzw. „Verlängerung des betrachteten kleinen Ausschnitts (Kirsch, 1980, S. 3).
Die Steigung der Tangente numerisch approximiert
Wie kann man den Zahlenwert der Steigung dieser Tangente annähernd bestimmen? Auch hierzu lässt sich unser Funktionenmikroskop in GeoGebra nutzen, indem zusätzlich numerische Werte eingeblendet werden. Arbeitsblatt 2 🔎 beinhaltet zunächst einleitende Aufgaben, in denen die Lernenden beschreiben, wie man die Steigung des beim Hineinzoomen „gerade erscheinenden Teilstücks des Graphen mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen und wie man die dadurch erhaltenen Werte verbessern kann.
Aufgabe 4 auf Arbeitsblatt 3 🔎 bildet das Herzstück dieser Unterrichtssequenz: Wie gewohnt, nutzen die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit des Zoomens. Die genaue Anleitung ermöglicht dabei das selbstständige Einblenden der Koordinaten der Punkte. Abb. 2 🔎 zeigt, welchen Schwierigkeiten die Lernenden dabei begegnen: Beim Hineinzoomen kann es passieren, dass zwei offenbar verschiedene Punkte dieselben Koordinaten haben. Oder die Werte der berechneten Differenzenquotienten zeigen starke Schwankungen, je weiter man hineinzoomt.
Was ist passiert? Die Schülerinnen und Schüler erfahren hier die Grenzen der Darstellung in der Software. GeoGebra stellt standardmäßig zunächst nur zwei Nachkommastellen dar. Man hat die Möglichkeit, mehr Nachkommastellen im Menü „Einstellungen Runden einblenden zu lassen. Schnell wird klar, dass Approximation des genauen Wertes der Steigung eine Erhöhung der Nachkommastellen benötigt. Beispielsweise haben Max und Abdullah nur 5 Nachkommastellen zugelassen, aber sehr weit hineingezoomt und so stießen sie an Grenzen, die sich in starken Schwankungen des Wertes des Differenzenquotienten zeigten. Also reichen noch nicht einmal 5 Nachkommastellen aus, um den Wert der Steigung sinnvoll anzunähern!
Die Erhöhung der Nachkommastellen wird hier zur Metapher für Approximation. Hier kann und sollte man weiterfragen und diskutieren, wie weit man eigentlich hineinzoomen müsste und wie viele Nachkommastellen tatsächlich nötig wären. Dadurch landet man bei der Diskussion des Grenzwerts, der ein rein theoretisches Konstrukt darstellt. Denn ein beliebig tiefes Hineinzoomen (was bei uns als Metapher für das Bilden des Grenzwertes fungiert) ist real nicht möglich wohl aber in Gedanken Als Ergebnis halten wir schließlich fest:
Die Steigung im Punkt A(3|9) heißt Ableitung der Funktion im Punkt A. Ihr Wert beträgt 6. Man schreibt dafür: f  ' (3) = 6.
In allgemeiner Version formulieren wir mit Hilfe von Abb. 3 🔎zusammenfassend:
Zusammenfassung:
Die Steigung einer Funktion f(x) in einem Punkt (a|f(a)) bezeichnet man mit f '(a). Man kann sie annähernd berechnen durch
$$f'\left (a\right )\approx \frac{f\left (a+h\right )\mathrm{–}f\left (a\right )}{h}$$
Dabei muss h, die Differenz der x-Werte, genügend klein gewählt werden.
Fazit
Die Einführung des Ableitungsbegriffs birgt einige Hürden und Schwierigkeiten für die Lernenden. Deshalb wird hier auf die visuelle Vermittlung des Begriffs zurückgegriffen, die wir heute mit dem Computer als Funktionenmikroskop im Unterricht schülerzentriert durchführen können. Auf diese Weise lassen sich für die zentralen abstrakten mathematischen Begriffe ausgesprochen tragfähige Metaphern etablieren. Auf diese Metaphern kann man im weiteren Unterrichtsverlauf immer wieder zurückgreifen. Sie bilden intuitive Ansatzpunkte, um die mathematischen Begriffe später weiter auszudifferenzieren. Zum Weiterlesen empfehle ich (Kindt u.a., 2003), die diesen Ansatz konsequent verfolgen und weitere produktive Beispiele bereitstellen.
Literatur
Danckwerts, R./Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Spektrum Akademischer Verlag.
Dolan, S. u. a. (1990): Introductory Calculus The School Mathematics Project, Cambridge University Press.
Friedrich, H. (2013): Zu einem Zeitpunkt gibt es keine Geschwindigkeit oder doch? Die lokale Änderungsrate besser einordnen. In: mathematik lehren, Heft 180, S. 30 – 33.
Kirsch, A. (1979): Ein Vorschlag zur visuellen Vermittlung einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff. In: Der Mathematikunterricht, 25(3), Friedrich Verlag, S. 25 – 41.
Kirsch, A. (1980): Folien zur Analysis, Serie A. Die Steigung einer Funktion. Schroedel, Hannover.
Kindt, M./Drijvers, P./Doorman, M. (2003): Differenzieren Do it yourself. Orell Füssli Verlag, Zürich.
Abb. 2: Zwei Schwierigkeiten beim Hineinzoomen: Offenbar verschiedene Punkte haben dieselben Koordinaten, und die Werte der berechneten Differenzenquotienten zeigen starke Schwankungen, je weiter man hineinzoomt.
Abb. 3: Zusammenfassung der Ergebnisse: Die Steigung der Funktion wird über den Differenzenquotienten definiert.
Abb. 1: Beim Hineinzoomen in den Graphen der Funktion f mit f(x) = x3 – 7x2 + 8x + 7 am Punkt A(2|f(2)) entsteht visuell eine Gerade mit negativer Steigung, wohingegen am Punkt B(4|f(4)) schließlich eine waagerechte Gerade entsteht.