7. – 12. Schuljahr

Julia Reibold

Lösungen vergleichen

Ideen zur Ergebnisauswertung

Die Schülerinnen und Schüler meiner Klasse arbeiten konzentriert alle zum gleichen Thema aber teilweise an verschiedenen Aufgaben und auf unterschiedlichen Wegen. Sie haben noch fünf Minuten, dann beginnt die Auswertung der Ergebnisse eine Unterrichtsphase, mit der besondere Herausforderungen und Erwartungen verbunden sind.
Natürlich sind die Schüler neugierig, ob ihre eigene Lösung richtig ist. Doch auch hier gibt es Unterschiede: Einige erwarten sachkundige Anregungen und Hinweise allein vom Lehrer und nehmen die Lösungsansätze ihrer Mitschüler kaum wahr. Manche sind eher an Lösungen und Erklärungen von anderen interessiert. Einige haben auch Probleme, ihre Lösungen von den Mitschülern korrigieren zu lassen. Die Heterogenität von Fähigkeiten, Neigungen und Interessen lässt sich also auch bei der Ergebnisauswertung deutlich spüren.
Lehrerperspektive: Wunsch und Realität
Als Lehrerin möchte ich durchaus die Schülerbedürfnisse befriedigen und möglichst alle über die Korrektheit ihrer Lösungen informieren. Die Rückmeldung zu einzelnen Lösungen ist jedoch anspruchsvoll, da die Bearbeitung der Aufgaben im Umfang und Niveau variieren. Wer alle Wahlaufgaben und alle erbrachten Schülerlösungen besprechen möchte, wird mit einem hohen Zeitaufwand und mit Aufmerksamkeitsproblemen konfrontiert: Fängt man an zu besprechen, langweilen sich die Leistungsstarken oder auch die Lernschwächeren, die das Schwere nicht verstehen.
Nicht alle Schüler werden alle in den Wahlaufgaben intendierten Fassetten eines Themas kennenlernen dies zu sehen, fällt auch mir als Lehrerin manchmal schwer. Man wünscht sich, alle Schülerinnen und Schüler hätten am Ende einer Unterrichtsstunde ein gewisses Niveau erreicht. Und schließlich möchte man nun nach der selbstständigen Schülerarbeitsphase die geforderten Lerninhalte strukturieren, zusammenfassen, auf Kernideen verdichten, das Neue und den Mehrwert der erarbeiteten Begriffe, Strategien und Lösungsverfahren bewusst machen.
Ergebnisauswertung: Ideen zur Gestaltung
In der Praxis sind Lösungsblätter zur Selbstkontrolle, Präsentationen von Schülern oder auch das Unterrichtsgespräch als Methode zur Ergebnisauswertung mittlerweile fest etabliert. Jede dieser Methoden hat sinnvolle Einsatzmöglichkeiten, aber auch Grenzen. So mögen textlastige Lösungsblätter den Weg gut und nachvollziehbar erklären, sie eignen sich jedoch weniger für Schüler, die eine geringe Lesekompetenz haben. Und nur die „Zahlenwerte anzugeben, lässt manche bei der Fehlersuche noch im Dunkeln tappen.
Schülerpräsentationen fördern das Verständnis mathematischer Zusammenhänge durch Erklärungen Gleichaltriger (und sie entwickeln Kommunikations- und Darstellungskompetenzen des Präsentierenden weiter). Damit die Präsentation Lernanreize bietet und die Aufmerksamkeit erhält, müssen Aufgaben ausgewählt werden, die unterschiedliche Lösungswege und unterschiedliche Bearbeitungsniveaus zulassen.
Mit dem Besprechen ausgewählter Aufgaben im Plenum lässt sich die Auswertung zu differenzierenden Aufgabenpools zeitökonomisch gestalten. Bei den leichten Teilaufgaben in einem schwierigkeitsgestuften Lernangebot reicht es aus, wenn die Schüler kurz mit einem Lösungsblatt oder einer Folie vergleichen. Es werden nur noch offene Probleme, die in der Kleingruppe nicht gelöst werden konnten, noch einmal im Plenum besprochen. Im Zentrum der Aufgabenbesprechung sollten diejenigen Teilaufgaben stehen, die für die meisten Lernenden „in der Zone der nächsten Entwicklung liegen.
Wie kann ich die Auswertung so gestalten, dass sie zu einer größeren Verarbeitungstiefe führt und das Lernpotenzial (der zu besprechenden Aufgabe) möglichst weit ausschöpft? Hier ist es wichtig, Lösungswege noch einmal zusammenzufassen, wichtige Zusammenhänge aufzuzeigen und einen anderen Blickwinkel auf die Aufgabe zu präsentieren. So wird das Wesentliche des Lernstoffes besser erfasst und die notwendige Fachsystematik gesichert. Die neuen mathematischen Arbeitsweisen und heuristischen Vorgehensweisen werden explizit benannt.
Eine solche, auf den ersten Blick belehrend erscheinende Ergebnissicherung ist an dieser Stelle sinnvoll und notwendig. Doch die Schüler bleiben nicht passiv: Vorab gut überlegte Fragen und Handlungsaufforderungen zu den bereits gelösten Aufgaben regen die Lernenden in der Auswertungsphase zu neuen, weiterführenden Denkprozessen an.
Auswertung via Concept-Map
Wie die Ergebnisauswertung bei einer differenzierenden, mehrere Teile umfassenden Aufgabe gestaltet werden kann, soll am Beispiel der Aufgabe „Neue Sportplätze in Arbeitsblatt 1 🔎 gezeigt werden.1 Bei der Aufgabe befassen sich in Teil a) und der umkehrenden Frage in Teil b) die Schüler mit den Zusammenhängen zwischen den relevanten Größen: Umfang der Laufbahn, Flächeninhalt des Fußballfeldes, Länge der Geraden und Radius der Halbkreise. In Teil b) lässt sich zudem feststellen: Die Flächeninhalte der Fußballfelder können beim gleichen Umfang der Laufbahnen unterschiedlich sein.
Teil c) ist eine typische Optimierungsaufgabe (Zielfunktion aufstellen und den maximalen Wert grafisch oder analytisch bestimmen). Teil d) lässt unterschiedliche Lösungsansätze zu. Man könnte durch ein konkretes Beispiel zeigen: Eine Verdopplung der Laufbahnlänge führt zu einer Vervierfachung der maximalen Fußballfeldfläche. Oder man thematisiert allgemein den Zusammenhang zwischen Längen- und Flächeninhalten bei ähnlichen Figuren.
Nach einer gewissen Bearbeitungszeit (ca. 20 Minuten) wird zur Besprechung eine Concept-Map (Abb.1 🔎 ) als Folie für alle sichtbar aufgedeckt oder auch zur Einsicht am Lehrerpult bereitgelegt. Die Übersicht hebt die relevanten Größen und deren Zusammenhänge hervor und bringt alle Teilaufgaben in Verbindung. Sie lenkt damit auch Aufmerksamkeit auf die nicht bearbeiteten Teilaufgaben. Unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten (Funktionsgleichungen je nach Optimierungsparameter, grafische oder analytische Lösung) werden aufgegriffen und korrekte Ergebnisse der Teilaufgaben angegeben. Das Schema aktiviert das Lösungsprinzip einer Optimierungsaufgabe (die zu optimierende Größe und Optimierungsparameter identifizieren, eine Optimierungsfunktion bestimmen, grafisch oder analytisch vorgehen). Und letztlich liefert die Concept-Map einen Gesprächsanlass zur Verallgemeinerung des Zusammenhanges zwischen Längen- und Flächenverhältnissen bei ähnlichen Figuren.
Der Einsatz der Concept-Map bei einer Ergebnisauswertung sorgt für Abwechslung bei Besprechungsphasen, mindert Aufmerksamkeitsprobleme und hilft, den Unterrichtsfluß zu erhalten. Diese Auswertungsmethode kommt gerade denjenigen entgegen, für die es problematisch ist, Korrekturen und Erklärungen von Mitschülern aufzunehmen. Auch leistungsstärkere Schüler werden angesprochen, da sie neue Blickwinkel auf die Aufgabe erhalten. Der sukzessive Aufbau der Concept-Map unterstützt leistungsschwächere Lernende.
Auswertung via Lösungsdiagramm
Bei manchen Aufgaben bietet sich auch eine strukturierte bildliche Darstellung des Aufgabeninhalts als „Mus-terlösung an. Die Aufgabe zu Gehwegen (Arbeitsblatt 2 🔎) übt das Aufstellen und Vereinfachen von Termen. Einen geometrischen Nachweis der Äquivalenz von Termen kann man als Kernidee dieser Aufgabe auffassen. Diese Kernidee soll das Lösungsdiagramm (Arbeitsblatt 3 🔎) veranschaulichen.
Das Lösungsdiagramm umfasst verdichtet die Teilaufgaben a) bis c) und fasst alle mögliche Terme für den Flächeninhalt des Gehweges zusammen. Sie macht die Vielfalt von Lösungswegen bewusst. Die Lernenden sollen zu jeder geometrischen Zerlegung den entsprechenden Term aufstellen. Dabei können sie ihre eigene Lösung wiederfinden und sie überprüfen.
Fazit
Methodenvielfalt ist auch für Phasen der Ergebnisauswertung von großer Bedeutung. Die Gestaltung der Auswertung ist wesentlich durch den Lernstoff und die Art der bearbeiteten Aufgaben bestimmt. Auch in dieser Phase ist das Ziel, möglichst viel aus einer Aufgabe zu lernen. Dabei können bereitgestellte Unterstützungsmittel die Ergebnisauswertung effizienter machen und den Schülern helfen, die „Musterlösung und Rückmeldung besser zu verarbeiten.
Anmerkung
1 Beide Aufgaben stammen aus dem Projekt MABIKOM.
Literatur
Bruder, R./Leuders, T./Büchter, A. (2008): Mathematikunterricht entwickeln. Bausteine für kompetenzorientiertes Unterrichten. Cornelsen Scriptor, Berlin.
Brüning, L./Saum, T. (2007): Erfolgreich unterrichten durch Visualisieren. Grafisches Strukturieren mit Strategien des Kooperativen Lernens Neue Deutsche Schule Verlagsgesellschaft mbH, Essen.
Barzel, B./Büchter, A./Leuders, T. (2007): Mathematik Methodik Cornelsen Berlin.
Renkl, A. (1991): Die Bedeutung der Aufgaben- und Rückmeldungsgestaltung für die Leistungsentwicklung im Fach Mathematik. Unveröffentlichte Dissertation: Universität Heidelberg.
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