5. – 13. Schuljahr

Volker Ulm

Das ist neu, das erforsche ich!

Einstiege differenzierend gestalten

Binnendifferenzierung mag in Unterrichtsphasen der Übung, Anwendung und Vertiefung unmittelbar einleuchtend erscheinen. Aber ist dieses Konzept auch tragfähig, wenn Schülerinnen und Schüler mit neuem Lehrplanstoff vertraut gemacht werden sollen? Wäre es hier nicht doch besser, wenn alle „das Gleiche lernten?
Auch in Phasen der Neuerarbeitung spielen die Unterschiede von Schülerinnen und Schülern z.B. in Bezug auf Begabungen, Fähigkeiten, Wissen, Vorerfahrungen, Motivation, Interessen, Lernbedürfnisse etc. eine Rolle. Entsprechend verlaufen jegliche Erarbeitungs- und Lernprozesse im Kopf bei jedem anders. Darüber kann auch ein Unterricht, bei dem alle Schülerinnen und Schüler äußerlich „im Gleichschritt das Gleiche machen, nicht hinwegtäuschen. Lernen ist unvermeidbar ein ausgesprochen individueller Prozess, jede(r) lernt anders und etwas anderes. Dies kann und sollte man bei der Gestaltung des Unterrichts von vornherein berücksichtigen auch in Einstiegsphasen.
Forschendes Lernen als Grundidee
Wie kann Binnendifferenzierung bei der Erarbeitung von Neuem praktisch gestaltet werden? Ein hilfreicher Denkansatz ist, die Lernenden als kleine (oder große) „Forscher zu betrachten und ihnen entsprechende Anregungen zu „forschendem Lernen zu geben.
Beim forschenden Lernen erschließen sich die Lernenden ein (ihnen zunächst unbekanntes, subjektiv als komplex wahrgenommenes) Themenfeld zumindest partiell durch eigenständige kognitive Aktivität, indem sie ausprobieren, Beispiele betrachten, Behauptungen durchdenken … Diese Begriffsbildung betont den subjektiven Charakter forschenden Lernens.
Natürlich sind die Lehrplaninhalte als mathematisches Wissen seit langem vollständig bekannt z.T. seit Jahrtausenden. Dennoch kann im Unterricht das individuelle Lernen, das Erarbeiten eines neuen Themenfeldes, als Forschungsprozess gestaltet und wahrgenommen werden.
Sozialer Austausch ist ein ganz wesentliches Element mathematischer Forschung. Deshalb bietet gerade das Konzept des forschenden Lernens Möglichkeiten, Kooperation und Kommunikation der Lernenden miteinander zu fördern. Auch in Partner- und Gruppenarbeit können Schülerinnen und Schüler Mathematik als persönliches und lebendiges Forschungsfeld erfahren, das zu kreativem Denken und Tun, zur Entwicklung und Umsetzung eigener Ideen, aber auch zur Zusammenarbeit mit anderen einlädt.
Konzeption von Aufträgen
Arbeitsaufträge leiten das Denken und Tun der Schülerinnen und Schüler und sind damit für den Ertrag des Unterrichts ganz wesentlich. Dies gilt besonders bei einer forschenden Erarbeitung neuer Inhalte. Doch was ist bei der Konzeption solcher Aufträge zu berücksichtigen?
Einstieg für alle
Alle Schülerinnen und Schüler der Klasse sollten einen Einstieg in die jeweilige Thematik finden können und bereits in der Anfangsphase Erfolgserlebnisse haben. So gewinnen sie das Gefühl: „Ich kann hier etwas zustande bringen. Ansonsten geben sie bald resigniert auf, wenden sich zumindest innerlich vom Thema ab und der offen gestaltete Unterricht wird zur Zeitverschwendung. Deshalb ist es wichtig, die ersten Arbeitsaufträge so zu formulieren, dass sich alle substanziell mit Mathematik beschäftigen und sie dabei sichtbare Ergebnisse erzielen können.
Binnendifferenzierung
Die Schülerinnen und Schüler können verschiedenartige Arbeitsaufträge erhalten. Hierbei ist einerseits eine Differenzierung in Bezug auf die Schwierigkeit denkbar. Einige grundlegende Aufträge sollten von allen bearbeitet werden, anspruchsvollere Aufträge können etwa den Gedankengang auf höherem Niveau erweitern. Es ist andererseits aber auch Binnendifferenzierung in Hinblick auf die Vielfalt von Aspekten sinnvoll. Zu einem mathematischen Begriff oder einem Satz gibt es in der Regel mehrere Zugänge und Betrachtungsweisen. Den Lernenden kann in dieser Hinsicht Wahlfreiheit angeboten werden. Die beiden Beispiele in Arbeitsblatt 1 🔎 und 2 🔎 illustrieren dies.
Aufschreiben von Überlegungen
Gerade wenn die Schülerinnen und Schüler über längere Zeit eigenständig arbeiten, sollten sie dazu angehalten werden, ihre Überlegungen und Ergebnisse schriftlich festzuhalten. Forschen und Lernen sind inhaltlich eng mit Schreiben verbunden. Das Aufschreiben von Gedanken führt zu deren Ordnung und Verfestigung sowie zu einer tiefer gehenden Durchdringung der jeweiligen Thematik. Das Mathematikheft kann dabei den Charakter eines „Forscherhefts annehmen. So sprechen Gallin und Ruf (1998) vom Schülerheft als „Werkstatt des geistigen Tuns, als „Reisetagebuch, das die Schüler auf ihren Lernwegen begleitet. In ihrem Heft sollen die Lernenden Ideen festhalten, Beobachtungen notieren, Vermutungen formulieren, Begründungen entwickeln, persönliche Eindrücke aufschreiben etc.
Präsentieren von Ergebnissen
Damit das mathematische Forschen nicht unverbindlich und ohne fassbares Ergebnis endet, sollten die Schülerinnen und Schüler mit den Arbeitsaufträgen auch aufgefordert werden, ihre Ideen und Resultate so aufzubereiten, dass sie diese in der Klassengemeinschaft präsentieren können. Dies kann in Form eines Kurzvortrags und/oder mit Hilfe eines Plakats erfolgen. So ergeben sich natürliche Ausgangspunkte für gemeinsame Diskussionen im Klassenplenum und eine abschließende Ergebnissicherung.
Unterrichtsmethodik
Die Überlegungen zur Gestaltung von „Forschungsaufträgen legen ein methodisches Modell nahe, das in Abb.1 🔎 dargestellt ist. Vorgesehen sind Freiräume für eigenständiges und kooperatives Erforschen und Entdecken von Mathematik, verbunden mit Phasen, in denen Ergebnisse zusammengetragen und unter Leitung der Lehrkraft verbindlich gemacht und gesichert werden.
Natürlich vereinfacht das Ablaufmodell in Abb. 1 die komplexen realen Prozesse in einem forschenden Mathematikunterricht. In der Praxis werden durchaus Sprünge erfolgen oder es werden Zyklen durchlaufen. Dennoch kann dieses Modell helfen, den Unterricht zu strukturieren und zu organisieren.
Zwei Beispiele
Neues zu erarbeiten, heißt oftmals, einen neuen mathematischen Begriff zu bilden oder einen neuen Satz zu erschließen und zu beweisen. Die beiden Arbeitsblätter illustrieren, wie in solch typischen Situationen Binnendifferenzierung sowohl über die Vielfalt der zu erkundenden Aspekte, als auch über die entsprechende Schwierigkeit realisiert werden kann.
Beispiel: Primzahlen
Die Schülerinnen und Schüler lernen Primzahlen als besondere natürliche Zahlen kennen (Arbeitsblatt 1). Sie stoßen auf Primzahlen als irreduzible multiplikative Bausteine natürlicher Zahlen („Atome). Dieser Einstieg sollte für alle schaffbar sein. Je nach Interesse und Fähigkeit können die Lernenden weitere Charakteristika erforschen: Primzahlen lassen sich nicht als Produkt kleinerer Zahlen darstellen; sie haben genau zwei Teiler; wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, dann teilt sie einen der Faktoren. Schließlich eröffnet eine Literatur- oder Internetrecherche tiefgreifendere Forschungsfelder (z.B. Anzahl der Primzahlen, Verteilung von Primzahlen, Primzahlzwillinge, größte bekannte Primzahl, Primzahltests, Mersenne-Primzahlen, ).
Beispiel: Satz des Thales
Die Schüler entdecken die Aussage des Satzes des Thales und entwickeln Ideen für einen Beweis (Arbeitsblatt 2). Als Zugang für alle erzeugen die Schüler die Thales-Konfiguration mit einem Seil im Großen (z.B. im Pausenhof), wie auch im Kleinen (im Heft). Sie untersuchen die zugehörigen Dreiecke und formulieren Vermutungen. Die Differenzierungsangebote beziehen sich auf die Entwicklung eines Beweises mittels gleichschenkliger Dreiecke, auf die Exploration der Aussage mit Software für dynamische Geometrie, auf Literatur- und Internetrecherche, auf historische Aspekte sowie auf die Umkehrung des Satzes.
Literatur
Gallin, P./Ruf, U. (1998): Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik. Kallmeyer, Seelze.
Website des Programms „Fibonacci SINUS-Europa: http://www.fibonacci-project.eu/
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