Dieses Problem führt handlungsorientiert gleichermaßen in die Themen Differenzialgleichung wie Exponentialfunktionen ein. Auch in Kursen auf grundlegendem Niveau ergeben sich interessante Diskussionen und gut [...] vernachlässigten – Thema „Differenzialgleichungen“, das gut geeignet ist, um davon ausgehend Exponentialfunktionen und die Einführung der Integralrechnung zu behandeln. Differenzialgleichungen verknüpfen die [...] ate f '(x) nur vom Bestand f (x) ab, so führen die Differenzialgleichungen auf das Thema Exponentialfunktion. Hängt die Änderungsrate nur von x ab, so ist die Lösung der Differenzialgleichung eine St
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Und: 2x und πx sind auch Exponentialfunktionen, obwohl kein e vorkommt; ex + e ist abgeleitet nicht ex + e.) Im Leistungskurs kann dann der Funktionsterm als Exponentialfunktion zur Basis e geschrieben [...] x(x ^x) und (xx)x? Nach dem Untersuchen der Graphen kann durch Umschreiben der Funk-tion zur Exponentialfunktion mit Basis e und Bilden der ersten Ableitungsfunktion eine genauere Begründung für das Phänomen [...] die Zahl e häufig eine „krumme“ Zahl, und sie erwarten, dass auch Integrationsaufgaben über Exponentialfunktionen keine ganzzahligen Ergebnisse liefern. Dieser Vorstellung versuche ich entgegenzuwirken, indem
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Exponenten übertragen. Schließlich wird die Exponentialfunktion auf rationale Exponenten erweitert. Wiederum erfordert die Umkehrung der Exponentialfunktion eine Einschränkung des Definitionsbereichs, [...] Gegenkathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck für 0 ). Man erhält dadurch für die Exponentialfunktion exp: x → ax mit a ≥ 0 den Definitionsbereich zunächst für natürliche Zahlen und Stammbrüche
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überhaupt keine rationalen Punkte gibt (Abb. 6 ). Ebenso scheint es beim Graphen der natürlichen Exponentialfunktion; und tatsächlich haben beide außer dem jeweiligen Ordinatenschnittpunkt keinerlei rationale [...] Wesentlichen bei Verdacht und „Mitteilung“ bleiben. Für den Fall der durch y = ex gegebenen Exponentialfunktion eignet sich immerhin ein Teilbeweis als Argumentationsübung: 1873 gelang dem französischen [...] ist. Wenn wir diese Tatsache hinnehmen, können wir folgern, dass der Graph der natürlichen Exponentialfunktion außer (0 | 1) tatsächlich keinen einzigen rationalen Punkt hat: Hätte er einen Punkt der Form
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gen. Dieses Wissen kann später bei der Erweiterung der Funktionenklassen auf Potenz- und Exponentialfunktionen wieder aufgegriffen werden. Mit der parallelen Erfassung der verschiedenen Darstellungen
=~ 8}x~ \mathrm{\cdot 0,937}\mathrm{5}_{}^{\mathrm{(5x – 1)}}\mathrm{~ }\mathrm{€}$$Da die Exponentialfunktion mit Basis kleiner als 1 „gewinnt“, zahlt man irgendwann gar nichts mehr. Man bekommt im Gegensatz
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herangezogen werden (je nachdem, welche Entdeckung begründet werden soll): G1 Die Ableitung einer Exponentialfunktion ex lautet wieder ex.G2 Die Produktregel f ' = g' · h + g · h' wird angewandt mit g(x) = (n
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