Fakultäten-RätselFakultät und die End-Nullen

Berechnen Sie 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5. Wie viele Nullen hat das Ergebnis am Ende? Warum? Wie viele Nullen hat 10! am Ende? Warum? Und auf wie vielen Nullen endet 15!, 25! und 100! – und warum? Erst nachdenken, dann in die Lösung schauen!

Schreiben auf der Sommerwiese

Foto: StockSnap/Pixabay CC0 Creative Commons

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Haben Sie den Taschenrechner oder Ihr Handy genutzt und die ersten Beispiele berechnet? Und vielleicht die Primfaktoren sortiert? Dann sind Sie für die Lösung gut vorbereitet.

Lösung

1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120, hat also eine Null am Ende.

1 · 2 · … · 9 · 10 = 3 628 800, hat also zwei Nullen am Ende.

1 · 2 · … · 14 · 15 = 1 307 674 368 000, hat also drei Nullen am Ende.

Woher kommen die Nullen am Ende eines Produktes?

Zerlegt man jeden Faktor eines Produktes in seine Primfaktoren, kann man erkennen, wie oft die Primfaktoren 2 und 5 in einem Produkt stecken:

Beispiel:

10! =

1 · 2 · 3 · 4      · 5 · 6      · 7 · 8            · 9      · 10 =

1 · 2 · 3 · 2 · 2 · 5 · 2 · 3 · 7 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 5  =

1 · 2 · 2 · 2 ·2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 =

1 · 28 · 34 · 52 · 7 = 

1 · 26 · 34 · 2 · 5 · 2 · 5 · 7 = 

1 · 26 · 34  · 7 · 10 · 10

Jedes Paar der Primfaktoren 2 und 5 ergeben eine Faktor 10 und letztendlich eine Null am Ende des Produktes. Im obigen Beispiel gibt es zwei Fünfen und acht Zweien, das liefert also zwei Paare der Faktoren 2 und 5. Deshalb gibt es am Ende des Produktes zwei Nullen.

Da der Primfaktor 2 in den „Produktschlangen“ der Fakultäten sehr viel häufiger als der Primfaktor 5 vorkommt, bestimmt die Anzahl der Primfaktoren 5 die Anzahl der Nullen am Ende des Produktes.

15! = 1 · 2 · … · 14 · 15 = 1 · 211 · 36 · 53 · 72 · 11 · 13, endet also auf 3 Nullen.

20! = 1 · 2 · … · 19 · 20 = 1 · 214 · 38 · 54 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19, endet also auf 4 Nullen.

Erwarten Sie für 25! nun 5 Nullen am Ende? Dann schauen Sie genauer hin: 
25! = 1 · 2 · … · 24 · 25 = 1 · 218 · 310 · 56 · 73 · 112 · 13 · 17 · 19 · 23, hat also 6 Nullen am Ende.

50! endet auf 12 Nullen, 75! auf 18 Nullen und 100! hat 24 Nullen am Ende.

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