Problemlösekompetenzen diagnostizieren, rückmelden und bewertenNoten fürs Problemlösen?!

Wenn Problemlösen relevanter Teil des Mathematikunterrichts ist und ernst genommen werden soll, dann muss es auch Gegenstand der regelmäßigen lernbegleitenden Diagnose, Rückmeldung, Bewertung und letztlich auch der Zeugnisnote sein. Aber wie kann Problemlösen Teil einer herkömmlichen Klassenarbeit werden? Oder braucht es hier für alternative Beurteilungsformen?

Beschriebene Blätter werden korrigiert

Foto: quinntheilander/Pixabay CC0 Creative Commons

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Grafik: Was soll wozu und wie beurteilt werden?

Beispiel Beurteilungsraster

Grafik: Martin Lacher

Problemlösen ist im Gegensatz zum Faktenwissen oder Rechenfertigkeiten eher eine „weiche“ Kompetenz, bei der man die Leistung der Lernenden nicht einfach nach richtig oder falsch unterscheiden kann. Vielmehr müssen (vorher erlernte) heuristische Strategien genutzt werden, um einen Lösungsweg zu entwickeln. Ein Beispiel für eine Problemlöse-Aufgabe (vgl. Schupp 2006) lautet: 

Differenzen von Quadratzahlen
Bildet man Differenzen zwischen zwei beliebigen, nicht benachbarten Quadratzahlen, sind viele Zahlen möglich, aber nicht alle (z. B. ist die Differenz nie 1). Welche Zahlen lassen sich nicht als Differenzen zweier Quadratzahlen finden? Beschreibe den Lösungsweg nachvollziehbar und begründe die gefundenen Erkenntnisse.

Würden Sie diese Aufgabe in einer Klassenarbeit z.B.  in der Jahrgangsstufe 7/8 stellen? Weshalb oder weshalb nicht?

Die Beurteilung solcher Problemlöse-Aufgaben stellt uns vor mehrere Herausforderungen: Wie kann man Problemlösen angemessen und möglichst objektiv beurteilen? Woran orientiert man eine Bewertung überhaupt, sprich: Was kann man am Problemlösen beurteilen? Und schließlich sollte man sich auch fragen, wozu die Beurteilung dienen soll: Geht es vor allem darum, den Schülerinnen und Schülern die Bedeutung des Themas vor Augen zu führen? Geht es um eine Rückmeldung an Lernende zu ihren Fähigkeiten und möglichen Verbesserungen dieser, oder geht es um die Vergabe von Noten und Berechtigungen? Damit diese Fragen diskutiert werden können, gilt es zuerst, einige Begriffe zu klären.

Was meint «Leistungserfassung» und «Leistungsbewertung»?

Den Beurteilungsprozess kann man in mehrere Stufen aufteilen: Die Diagnose, die Rückmeldung und die Leistungsbewertung. Eine Diagnose ist zunächst eine reine Feststellung der Leistungen; ein (möglichst) wertneutrales Urteil darüber, welche Art und welchen Umfang die gezeigten Leistungen haben. Eine solche Feststellung verläuft oft in mehreren Schritten: von der Beobachtung, über die Beschreibung bis zur Einordnung (z. B. zu einem bestimmten Fehlermuster oder einer Kompetenzstufe). Eine Diagnose ist niemals Selbstzweck, sie kann von der Lehrperson zur Steuerung ihres Unterrichts verwendet werden, oft wird sie aber auch mit einer Rückmeldung an die Lernenden verbunden. Ganz unabhängig davon, kann man in einem weiteren Schritt diesem Urteil noch einen Wert (z. B. eine Note) zuschreiben und damit eine Leistungsbewertung vornehmen. Wenn die Begriffe Leistungsbeurteilung oder Beurteilung verwendet werden, so befindet man sich eher auf einer allgemeinen Ebene, die die genannten Unterscheidungen in Diagnose, Rückmeldung und Leistungsbewertung nicht macht (vgl. Winter 2015, S. 21; für Mathematik: Hußmann, Leuders & Prediger 2007).

Was sind «formative» und «summative» Beurteilungen?

Im Zusammenhang mit Beurteilungen und Diagnosen trifft man oft auf die zwei Begriffe formativ und summativ. Schon in den 1960er-Jahren definierte der Mathematiker und Philosoph Michael Scriven (1967) formative Evaluationen als Evaluationen, die während des Lehr-Lernprozesses stattfinden und zum Ziel haben, diesen zu verbessern. Er unterscheidet davon summative Evaluationen, die am Ende des Prozesses stattfinden und deren Ziel es ist, den Prozess zu bewerten. Diese Begriffe wurden im Laufe der Jahrzehnte auch in den pädagogischen Kontext übernommen und mit weiteren Bedeutungen versehen. Heute versteht man unter formativer Beurteilung meist eine Beurteilung zum Zweck der Rückmeldung und Lernförderung und unter summativer Beurteilung eine zum Zweck der Bewertung einer Lernleistung (vgl. z. B. Bloom 1968; Black & William 2009; Sacher 2014; Winter 2015).

Beurteilungsanlässe planen: Was soll wie und wozu beurteilt werden?

Bei jeder Planung von Beurteilungsanlässen im Unterricht – also auch für das Beurteilen des Problemlösens – kann man sich an diesen drei Fragen des Was? Wie? Wozu? orientieren (vgl. Grafik oben rechts und Winter 2015, S. 24). Daneben stellt sich natürlich auch die Frage, wann eine Beurteilung erfolgen soll.

Wozu wird beurteilt?

Die Frage des wozu steht bei der Planung von Beurteilungsanlässen an erster Stelle und steuert die anderen Fragen mit. Beurteilungen erfüllen in unserer Schultradition verschiedene gesellschaftliche und pädagogische Funktionen (vgl. Lütgert u.a. 2001; Lötscher u.a. 2017, S. 17 ff.):

  • Die Leistungsbeurteilung bildet (meist in Form von Zeugnissen) die Grundlage für die Versetzung am Ende eines Schuljahres und die Zuordnung zu verschiedenen Schulformen oder weiterführenden Ausbildungen. Sie dient also der Selektion von Lernenden. Die Leistungsbeurteilung sorgt auch für eine Legitimation von Lerninhalten, frei nach dem Motto: „Dieser Lerninhalt wird beurteilt, also ist er wichtig.“
  • Gegenüber Eltern hat die Leistungsbeurteilung die pädagogische Funktion der Rückmeldung und Verständigung, wobei eine solche Rückmeldung traditionell oft auf eine einzige Zahl (Note) reduziert wird.
  • Auf der Ebene der Lernenden – im eigentlichen Unterricht – dient die Leistungsbeurteilung der Steuerung des Lernens der Schülerinnen und Schüler inkl. der Unterrichtsplanung der Lehrperson. Damit Schülerinnen und Schüler ihre Problemlösekompetenzen effektiv entwickeln und die Lehrpersonen einen darauf abgestimmten Unterricht ermöglichen können, benötigen sie ausführlichere Informationen als lediglich eine „Zahlnote“ (die aber nicht notwendigerweise zeugnisrelevant sein müssen).

Was wird beurteilt?

Die Frage, was inhaltlich beurteilt werden soll, ist im Bereich des Problemlösens interessant: Beschränken wir uns bei der Beurteilung auf das Resultat (weil es besonders objektiv ist)? Oder beziehen wir den Bearbeitungsprozess mit ein (eventuell sogar Aspekte wie Durchhaltevermögen)? Die Antwort auf die Frage, was beim Problemlösen beurteilt werden kann, orientiert sich an den Komponenten des Problemlösen (vgl. Holzäpfel u.a. 2018, Kapitel 4): Es sind (Vor-)Wissen, Heurismen, Steuerung und Einstellungen. Mögliche Kriterien für die Beurteilung dieser vier Komponenten des Problemlösens sind:

(Vor-)Wissen

  • Du bringst das Problem mit passendem Vorwissen in Verbindung.
  • Du erlernst neue Wissensstrukturen und setzt diese sinnvoll ein.
  • Du findest korrekte bzw. plausible Lösungen.

Heurismen

  • Du gehst nach einem Plan vor (z. B. PADEK: Problem verstehen, Ansatz suchen, Durchführen, Ergebnis erklären, Kontrollieren).
  • Du entwickelst eine Lösungsstrategie oder wählst eine bekannte aus, die zum Ziel führen kann.
  • Du setzt deine Strategie konsequent um.
  • Du passt deine Strategie neuen Erkenntnissen an.
  • Du setzt Hilfsmittel (Skizzen, Tabellen, Computer usw.) sinnvoll ein.

Steuerung

  • Du beschreibst Pläne, Überlegungen und Vermutungen, Strategien und Denkwege genau, falls möglich im Voraus.
  • Du beschreibst auftauchende Probleme, falls möglich inkl. Lösungsansätze.
  • Du überprüfst (Teil-)Lösungen, korrigierst sie gegebenenfalls.
  • Du erklärst bei gefundenen (Teil-)Lösungen ihre Bedeutung für das Problem.
  • Du benennst Hilfe von außen (Internet, andere Personen) und gibst ggf. Quellen an.
  • Du gestaltest deinen Lösungsweg nachvollziehbar und leserlich.

Einstellungen

  • Du lässt dich auf das Problem ein und investierst genügend Zeit.
  • Du gibst bei Schwierigkeiten nicht gleich auf.
  • Du erkennst gegebenenfalls, dass mehrere Lösungen möglich sind.
  • Du siehst weitere Anwendungsmöglichkeiten des Problems.

Wie diese Liste zeigt, stehen wir vor einer großen Zahl zu beurteilender Faktoren. Damit die Beurteilung effizient und praktikabel bleibt, sind einige Dinge zu beachten:

  1. Es ist gut möglich, nur eine Auswahl der Komponenten zu beurteilen, also z. B. nur die Steuerung oder nur die Anwendung von Heurismen, je nach Anlage des eigenen Unterrichts.
  2. Es lässt sich nicht in jeder Schülerarbeit zu jedem Kriterium zwingend eine Aussage machen. Kriterien, die sich nicht beurteilen lassen (z. B. Angabe von Hilfen/Quellen von außen), sollen deshalb ignoriert werden. Das impliziert, dass nicht jedes einzelne Kriterium mit einer Werteskala versehen wird, sondern lediglich die Komponenten. Wie das in der Praxis aussehen kann, zeigt das Beispiel eines Beurteilungsrasters (Beispiel und Vorlage).
  3. Beim Diagnostizieren können auch Selbst- und Peerbeurteilungen (gegenseitige Beurteilung durch Lernende) angewendet werden. Dabei profitiert nicht nur die Lehrperson durch weniger Arbeitsaufwand, sondern auch die Schülerinnen und Schüler, die Arbeiten anderer Lernenden analysieren. Der Gefahr der Oberflächlichkeit beugt dabei der Einsatz der oben besprochenen Kriterien vor.

Wie wird beurteilt?

Die Frage, wie ein Beurteilungsanlass durchgeführt wird, hängt natürlich mit dem wann und wozu eng zusammen. Eine Beurteilung zu Beginn oder während des Lernprozesses dient dazu, Problemlöseprozesse zu beobachten und rückzumelden, damit die Lernenden Problemlösekompetenzen entwickeln können. Dazu eignen sich unter anderem Beobachtungen im Prozess, Lösungspräsentation und Diskussion, Problemlösejournale (vergleichbar mit Lerntagebüchern). Eine Beurteilung am Ende des Lernprozesses kann beispielsweise in sogenannten Beurteilungsumgebungen (vgl. Jundt & Wälti, 2010 und 2011) erfolgen.

Möchte man Zwischenbewertungen erheben, kann dies auch – mithilfe adäquater Instrumente wie dem Beurteilungsraster – im Rahmen eines Diagnostischen Gesprächs oder bei der Bewertung von Problemlösejournalen erfolgen. Mit Blick auf die Mathematiknote kann  beispielsweise eine vorbereitete Präsentation einer Lösung bewertet oder eine entsprechende Aufgabe in einer Klassenarbeit gestellt werden. Eine tabellarische Übersicht über mögliche Beurteilungsformen finden Sie hier. Die ausführliche Beschreibung der verschiedenen Formen können im Buch «Problemlösen lehren lernen» (Holzäpfel u.a. 2018, Kapitel 10) nachgelesen werden.

Was bringt es?

Die Beforschung dieses Themas ist noch sehr jung und entsprechend dünn. Das bedeutet, dass insbesondere bezüglich der Lerneffekte von alternativen Beurteilungsformen noch wenig empirische Ergebnisse vorliegen. Die Arbeit von Wälti (2014) zeigt aber, dass es sich auch in dieser Hinsicht lohnt, Beurteilungsanlässe zu öffnen und stärker problemlöse-orientiert zu gestalten. Es gibt aber zweifelsohne noch viel zu tun und auszuprobieren; begeben wir uns doch gemeinsam auf diesen Weg, es ist ein hoch spannender!

Zum Download

Vorlage eines Beurteilungsrasters zum Problemlösen

Literatur

Black, P. / Wiliam, D. (2009): Developing the theory of formative assessment. In: Educational Assessment, Evaluation and Accountability. 21(1), S. 5 – 13.

Bloom, B. S. (1968): Learning for mastery. Los Angeles, USA: University of California Press.

Holzäpfel, L. / Lacher, M. / Leuders, T. / Rott, B. (2018): Problemlösen lehren lernen. Wege zum mathematischen Denken. Klett Kallmeyer, Velber. 

Hußmann, S. / Leuders, T. / Prediger, S. (2007): Schülerleistungen verstehen – Diagnose im Alltag. In: Praxis der Mathematik in der Schule. 49(15), S. 1 – 9.

Jundt, W. / Wälti, B. (2010): Erwartungen transparent machenArbeiten in mathematischen Beurteilungsumgebungen. In: mathematik lehren, Heft 160  (Differenzieren). 

Jundt, W. / Wälti, B. (2011): Mathematische Beurteilungsumgebungen Sek I/1, Kernaufgaben zur Lernsicherung. Bern: Schulverlag plus.

Lötscher, H. / Tanner Merlo, S. / Joller-Graf, K. (2017): Beurteilung in integrativen Schulen: Kompetenzfördernd unterrichten mit dem Lehrplan 21. Luzern: PH Luzern. Online-Dokument (letzter Zugriff: 02.01.2018).

Lütgert, W. / Tillmann, K.-J. / Beutel, S.-I. / Jachmann, M. / Vollstädt, W. (2001): Leistungsbeurteilung und Leistungsrückmeldung an Hamburger Schulen – Bericht über ein Forschungsprojekt. Behörde für Schule, Jugend und Berufsbildung, Hamburg. Online-Dokument (letzter Zugriff: 11.12.2018).

Sacher, W. (2014; 6. Auflage): Leistungen entwickeln, überprüfen und beurteilen – bewährte und neue Wege für die Primar- und Sekundarstufe. Heilbrunn: Klinkhardt.

Schupp, H. (2006): Variation von Aufgaben. In: Blum, W. u.a. (Hrsg.): Bildungsstandards Mathematik: konkret. Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen. Berlin: Cornelson Scriptor, S. 153.

Wälti, B. (2014): Alternative Leistungsbewertung in der Mathematik. Bern: Schulverlag plus.

Winter, F. (2015): Lerndialog statt Noten. Neue Formen der Leistungsbeurteilung. Weinheim und Basel: Beltz.

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