Cantor fragt: Unendlich = Unendlich?

Der „Entdecker der Unendlichkeit", Georg Cantor (1854 – 1918), führte die Konzepte des „abzählbar" und „überabzählbar" Unendlichen ein – ein spannendes Thema für den Unterricht. Der MDR hat eine interessante Web-Doku zusammengestellt, und unser Download führt Ihre Schüler auf die Spur des Unendlichen!

Der Mathematiker Georg Cantor

Der deutsche Mathematiker Georg Cantor starb von 100 Jahren. Er beschäftigte sich unter anderem mit der Unendlichkeit.

Abzählbarkeit rationaler Zahlen

Ein Muster zur Abzählbarkeit rationaler Zahlen

Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Und auch unendlich viele gerade Zahlen – deren Menge müsste „halb so groß" sein, wie die der natürlichen Zahlen, dennoch lassen sie sich zählen, ebenso wie die rationalen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen ist ebenfalls unendlich groß, aber anders, nämlich „überabzählbar". Dies überlegte schon Georg Cantor (1854 – 1918). Das Unendliche regt immer wieder zu Diskussionen an und bietet Raum für spannende mathematisch-philosophische Überlegungen. Neu bewiesen ist: Es gibt zwei verschiedene Unendlichkeiten, die gleich groß sind.

„Eine Menge stelle ich mir vor, wie ...“

Der gedankliche Umgang mit Mengen unterschiedlichster Art ist für uns selbstverständlich und unverzichtbarer Bestandteil unseres Denkens – auch dann, wenn wir es im konkreten Kontext nicht explizit hervorheben oder darüber reflektieren. Wir strukturieren unsere Überlegungen, indem wir Elemente zusammenfassen, die durch eine gemeinsame Eigenschaft, eine bestimmte Forderung oder Festlegung zu einem „Ganzen“ verbunden sind. Die Möglichkeit, die Elemente solcher Zusammenfassungen abzuzählen, erscheint dabei ganz natürlich zu sein. Vorstellungen dieser Art haben ihre Wurzeln bereits in der Antike. Sie finden sich in dieser Gestalt insbesondere bei Platon und Aristoteles. Die Überlegungen der antiken Philosophen und Mathematiker gingen aber bereits weiter und tiefer: Neben dem Endlichen, das mit Hilfe konkreter endlicher Zahlen abzählbar und beschreibbar ist, stand die Frage nach dem Unbestimmten, Unbegrenzten, dem Unendlichen.

Aristoteles (384–322 v. Chr), Begründer der modernen Logik, entwickelte den Unendlichkeitsbegriff vom potentiell Unendlichen anhand einer systematischen Analyse – als Prozess, der unbegrenzt fortgesetzt werden kann. Der Vorgang des Fortschreitens, nicht sein Ergebnis stehen im Blickpunkt:

Addiere ich zu einer Zahl immer und immer wieder 1, so komme ich über jede Grenze hinaus; subtrahiere ich von ihr immer und immer wieder 1, so komme ich unter jede Grenze.

… ← a – 2 ← a – 1 ← a → a + 1 → a + 2 → …

Folgerichtig existiert für Aristoteles das Unendliche als solches, das aktual Unendliche, nicht: „Infinitum actu non datur.“

Das aristotelische Verständnis vom Unendlichen – geknüpft an den Prozess des unbegrenzten Fortschreitens und nicht an Mengen bestimmter, eben nicht mehr endlicher Beschaffenheit – war und ist unmittelbar zugänglich. Als Beispiel dafür möge die folgende Aufgabe stehen, die den Kern des Gedankens sehr deutlich herausstellt.

Die Zaubertreppe

Stell dir vor, du gehst eine Treppe herunter – aber keine gewöhnliche, sondern eine Zaubertreppe. Eine Treppe, die nicht endet: nach jeder Stufe folgt eine weitere. Außerdem: Die Treppenstufen schrumpfen. Sie verkürzen sich mit dem Faktor a in allen ihren Ausmaßen. (0 < a < 1). Und schließlich: Jeder, der die Treppe hinunterläuft, schrumpft von Stufe zu Stufe um denselben Faktor a. Wie viel Platz brauchte ein Baumeister für diese Zaubertreppe, wenn die oberste Treppenstufe 30 cm tief sein soll?

Auf dem Weg zum aktual Unendlichen

Über Jahrhunderte, bis etwa in die Mitte des 19. Jahrhunderts hinein, war in der Mathematik diese Vorstellung des potentiell Unendlichen vorherrschend. Die Auseinandersetzung mit dem Unendlichen als etwas absolut Vorhandenem, und somit Untersuchbaren, stieß dagegen auf grundsätzliche Denkbarieren. Carl Friedrich Gauß (1777–1853) protestierte in einem Brief entschieden gegen die Verwendung des Begriffes „unendlich“ im Sinne von etwas Abgeschlossenem, dies sei mathematisch nicht zulässig: „Das Unendliche ist nur eine façon de parler …“
Trotzdem wurde die Notwendigkeit der Auseinandersetzung mit dem absolut Unendlichen bei verschiedenen Problemen immer wieder deutlich. Es sind insbesondere mengentheoretische Paradoxien, die auf die Notwendigkeit hindeuten, sich mit nicht endlichen Mengen auseinander zu setzen:

  • Jede natürliche Zahl n bestimmt eindeutig ihr Quadrat n2. Gibt es also genausoviele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen? (Galileo Galilei)
  • Durch die Multiplikation mit der Zahl 12/5 wird deutlich, dass es zwischen 0 und 5 genauso viele Zahlen gibt wie zwischen 0 und 12 – und das, obwohl der erste der beiden Zahlbereiche offensichtlich nur einen echten Teil des zweiten ausmacht. (Bernard Bolzano)
  • Eine 3 cm lange Linie muss mehr Punkte enthalten als eine Linie von 2 cm Länge. Aber: Es gibt eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Punkten dieser beiden Linien. (Bernard Bolzano) Hierbei denke man zum Beispiel an den 3 cm langen Schatten eines 2 cm langen Hölzchen, das von eine Taschenlampe beschienen wird.

Hinter derartigen Argumentationen verbarg sich eine sehr genaue Beobachtung: Bei Mengen aus endlich vielen Zahlen führt die Idee der paarweisen Elemente-Zuordnung zu einem Ende und damit zu einer Entscheidung: Die eine der beiden Mengen ist entweder umfangreicher als die andere, oder beide Mengen sind „gleichstark“. Diese Strukturierung entspricht den Erfahrungen: Das Ganze ist größer als sein Teil. Bei nicht endlichen Mengen ist diese Idee dagegen nicht (problemlos) anwendbar, wie in den Beispielen von Bolzano deutlich wird. Er sah in der Möglichkeit solcher Zuordungen ein Charakteristikum unendlicher Mengen.
Ein weiterer und wichtiger Schritt in dieser Richtung wurde durch Richard Dedekind (1831–1916) getan: Ein System S wird unendlich genannt, wenn es zu einem echten Teil von sich selbst ähnlich ist; im anderen Fall wird S endlich genannt. Hinter dieser Ähnlichkeit verbirgt sich gerade die Möglichkeit der paarweisen Elemente-Zuordnung.
Mit dieser Festlegung über unendliche Mengen eröffnet sich sofort eine Fülle neuer Fragen:

  • Bedeutet Ähnlichkeit unendlicher Mengen, dass sie dieselbe „Anzahl“ von Elementen besitzen?
  • Lassen sich diese „Anzahlen“ miteinander vergleichen, zusammenfügen, voneinander „abziehen“, …?
  • Gibt es überhaupt verschiedene Möglichkeiten für solchen „Anzahlen“? …

An dieser Stelle setzten die Überlegungen Georg Cantors an. Er griff den Gedanken des Vergleichens von Mengen auf und präzisierte ihn: Die Elemente einer endlichen Menge können zu einer Kette angeordnet werden. Lässt sich diese Vorstellung einer Anordnung der Elemente (in irgendeiner Form) auch auf unendliche Mengen fortsetzen? Die Frage nach der Möglichkeit einer Anordnung und – im nächsten Schritt – nach der Wohlordnung von Mengen stellt den Kern von Cantors Überlegungen dar.

  • Eine nichtleere Menge heißt angeordnet, wenn für beliebige zwei verschiedene ihrer Elemente a, b eine „Reihenfolge“ festgelegt ist: a steht in dieser Reihenfolge vor b, oder: b steht in der Reihenfolge vor a.
  • Eine angeordnete Menge heißt wohlgeordnet, wenn für jede ihrer Teilmengen ein eindeutig bestimmtes erstes Element (bezüglich der betrachteten Reihenfolge) angegeben werden kann.

In der Konsequenz werden dann beliebige, eben auch unendliche Mengen vergleichbar und sogar eine Arithmetik der unendlichen Zahlen wird möglich. Der Gedanke Cantors zur Anordnung und zur Wohlordnung war ebenso neuartig wie fundamental und weit reichend für die weitere Entwicklung der Mathematik – aber auch außerordentlich abstrakt und schwierig. Cantors eigener Weg über die Untersuchung der Zahlbereiche der rationalen und der reellen Zahlen eröffnet eine durchaus bedenkenswerte Perspektive, einen Zugang, der auch für Schülerinnen und Schüler interessant und gangbar ist.

Unterschiedlich große Unendlichkeiten

Es sind Überlegungen zu Zahlenmengen, die Georg Cantor in den 70er-Jahren des 19. Jahrhunderts bewegen. Insbesondere vergleicht er die Mengen der rationalen und der reellen Zahlen. Ein kleines Experiment macht die Überlegungen zur Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen verblüffend schnell und einfach deutlich: Dominosteine lassen sich sortieren, indem in der ersten Reihe alle Steine hingelegt werde, die auf einer Hälfte genau einen Punkt haben (und zwar so, dass dieser unten liegt). In die zweite Reihe kommen alle der restlichen Steine, die eine Seite mit genau zwei Punkten haben usw. Aus dieser „Anordnungs-Idee“ ergibt sich der Schlüssel zur Anordnung der nicht negativen rationalen Zahlen leicht. Man kann die Mehrfachnennungen ein und derselben rationalen Zahl vermeiden, indem nur vollständig gekürzte Quotienten aufnotiert werden. Dieses Schema erfasst mithin in einer gewissen Ordnung alle nicht negativen rationalen Zahlen. Links oben beginnend, lassen sich die Zahlen in Diagonalenrichtung eine nach der anderen „auffädeln“: 1/1 – 2/1 – 1/2 – 1/3 – 2/2 – 3/1 – 4/1 – 3/2 – 2/3 – 1/4 – … .

Der Übergang zur Gesamtheit aller rationalen Zahlen lässt sich nun vollziehen, indem hinter jeder Zahl der bisherigen Reihe eine neue dazwischengeschoben wird: die jeweils negative Zahl zur ursprünglichen. Auf diese Weise gelingt es, die unendliche Menge der rationalen Zahlen so in eine Ordnung zu bringen, dass sie der Reihe nach durchgezählt werden können. Mit anderen Worten: Es ist eine eineindeutige Zuordnung, eine Paarung, zwischen den rationalen und den natürlichen Zahlen möglich. Unendliche Mengen mit dieser Eigenschaft nennt Georg Cantor abzählbar unendlich.

Der Schritt zur unendlichen Menge der reellen Zahlen führt auf eine gänzlich neue Situation – auf das Phänomen der Nichtmehr-Abzählbarkeit, mit Cantors Begriffsbildung: auf die Überabzählbarkeit. Auch hier kann wieder eine Hilfsüberlegung den Gedankengang Cantors und gleichzeitig das Wesen des Problems veranschaulichen. Es wird nachgewiesen, dass eine Paarung (bijektive Abbildung) zwischen den reellen und den natürlichen Zahlen unmöglich ist. Gelingt dieser Nachweis für einen Teilbereich der reellen Zahlen, so gilt dasselbe auch für die umfassendere Menge aller reellen Zahlen.

Ein indirekter Beweis, der es in sich hat.

Die Ausgangsvoraussetzung ist die Möglichkeit zur Anordnung der reellen Zahlen (und damit auch jedes ihrer Teilbereiche) in einer Kette. Dies führt notwendigerweise zu einem Widerspruch: Für jeden Anordnungsvorschlag lässt sich (wenigstens) eine „vergessene Zahl“ konstruieren.

Annahme: Die Menge der reellen Zahlen lässt sich abzählen, das heißt auf mindestens eine Weise in einer Reihe auflisten.

1. Konsequenz: Dieses Aufreihen muss dann auch für jede Teilmenge der reellen Zahlen gelten. Zur besseren Handhabung wird ein praktikabler, aber unendlicher Teilbereich ausgewählt: In unserem Fall eine spezielle Zahlenfamilie aus dem Intervall (0,1).

2. Konsequenz: Die Reihung dieser Zahlenfamilie wird untersucht und die Konstruktion der vergessenen Zahl festgelegt und ausgeführt.

Formulierung des Widerspruchs: Laut Annahme waren alle Zahlen der betrachteten Zahlenfamilie aufgereiht. Die eindeutig ausführbare Konstruktionsvorschrift führt aber auf eine nicht vorhandene Zahl. Also: Die Annahme über die Vollständigkeit der Aufreihung kann nicht richtig sein!

In der speziellen Art dieser Konstruktion der „vergessenen Zahlen“, heute als zweites Cantor‘sches Diagonalverfahren bezeichnet, liegt der bahnbrechend neuartige Gedanke. Es entsteht zwangsläufig die Vorstellung von der Nicht-Aufreihbarkeit, also von der Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen. "Es gibt nicht nur einen, sondern mehrere Unendlichkeitsbegriffe. Mehr noch: Im Unendlichen kann man vorgehen, wie man es von den `uns geläufigen´ Zahlen gewohnt ist: Man kann rechnen, man kann vergleichen." (Georg Cantor, 1872).

Das Umgehen mit den verschiedenen Zahlbereichen legt die Frage nach dem Ausmaß der jeweiligen Bereichserweiterung nahe: Wie viele Zahlen kommen eigentlich hinzu, wenn man einen Zahlbereich zum nächstumfassenderen erweitert? Gibt es Unterschiede in der Art der Erweiterung? Die Überlegungen Cantors zum Verhältnis von natürlichen, rationalen und reellen Zahlen geben wichtige Antworten darauf. Es bedurfte fast des Zeitraumes eines ganzen Jahrhunderts, bis Cantors Gedanken zu den Zahlbereichen ihren festen Platz innerhalb der Mathematik gefunden hatten – im Pro und Contra oft heftiger Diskussionen. Georg Cantor selbst hat unter der Ablehnung seiner Ideen durch viele seiner Zeitgenossen, den oft recht emotional geführten Diskussionen und auch der Notwendigkeit der immer erneuten Auseinandersetzung mit den Widersprüchlichkeiten der Mengenlehre Zeit seines Lebens sehr gelitten, aber unbeirrbar an seinen Gedanken festgehalten. „In der Mathematik ist das Stellen von Fragen noch wichtiger als sie zu beantworten.“ Cantor ist diesem Denkansatz treu geblieben. Durch das Aufwerfen immer neuer Fragen und Probleme gelang es ihm, das Gerüst für die moderne Mengenlehre, die Theorie der Kardinal- und Ordinalzahlen, zu entwerfen. Erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts fanden mit dem Resultat von Paul Cohen zur Unbeweisbarkeit der Cantor‘schen Kontinuumshypothese die Überlegungen Georg Cantors ihre endgültige mathematische Abrundung.

Entscheidende Schritte auf dem Weg zur Theorie der unendlichen Mengen

1872 (Georg Cantor): Es gibt genauso viele rationale Zahlen, wie es natürliche Zahlen gibt. Es gelingt, eine eineindeutige Zuordnung zwischen den natürlichen und den rationalen Zahlen anzugeben.
Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie zur Menge der natürlichen Zahlen äquivalent ist. Die Menge der rationalen Zahlen ist also abzählbar. Ebenso die Menge der ganzen Zahlen.

1874 (Georg Cantor): Es gibt (qualitativ) mehr reelle Zahlen, als es natürliche Zahlen gibt: Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Es gibt somit (mindestens) zwei verschiedene Unendlichkeitsbegriffe, den der abzählbaren Unendlichkeit und den der nicht-abzählbaren Unendlichkeit.

1885 (Georg Cantor): Je zwei beliebige Strecken haben gleich viele Punkte. Jede Strecke ist also äquivalent zur Menge der reellen Zahlen.

1878 (Georg Cantor): Kontinuumshypothese: Jedes System von unendlich vielen reellen Zahlen, das heißt jede unendliche Zahlen- oder Punktmenge, ist entweder der Menge der natürlichen Zahlen oder der Menge sämtlicher reeller Zahlen, dem Kontinuum, äquivalent.

1938 (Kurt Gödel): Die Mengenlehre bleibt konsistent (widerspruchsfrei), wenn man ihr das Axiom hinzufügt, dass die Kontinuumshypothese gilt. Die Kontinuumshypothese kann nicht widerlegt werden.

1963 (Paul J. Cohen): Die Mengenlehre bleibt konsistent (widerspruchsfrei), wenn man ihr das Axiom hinzufügt, dass die Kontinuumshypothese nicht gilt. Die Kontinuumshypothese ist weder zu beweisen noch zu widerlegen. Egal, ob wir die Kontinuumshypothese als wahr oder als falsch betrachten, es führt zu keinem Widerspruch in der Mathematik.

2016 (Maryanthe Malliaris, Saharon Shelah): Es gibt zwei verschiedene Unendlichkeiten p und t, die gleich groß sind. Im Spektrum der Wissenschaft lesen Sie, wie dieses Rätsel der Mathematik gelöst wurde.

Download

Hier finden Sie ein Arbeitsblatt für den Einsatz in Klasse 9/10:

Download Arbeitsblätter

Web-Doku

Der Mitteldeutsche Rundfunk hat im Internet eine sehenswerte Seite mit Filmen und Interviews zu Georg Cantor, seinen Entdeckungen und seinem Leben zusammengestellt. Auch Jugendliche kommen zu Wort und erzählen, was sie persönlich am Unendlichen fasziniert.

Zur mdr Web-Doku über Georg Cantor

Literatur

Der Beitrag basiert auf dem Artikel "Cantor fragt: unendlich = unendlich?" von Karin Richter in mathematik lehren, Heft 112 (2002).

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