Funktionales ArgumentierenFüllgraphen – wie man sieht!

Die Idee bei Füllgraphen ist, im Zusammenspiel von Gefäß und Graph, funktionale Zusammenhänge auch einmal ohne Funktionsterme zu erkunden und zu erklären. Diese Idee kann sehr weit tragen. Wenn man sich bei Füllgraphen nicht mit vagen qualitativen Lösungen zufrieden gibt, lassen sich genauere Aussagen (und entsprechend reichhaltigere Skizzen) bereits mit einfachen funktionalen Argumenten erstellen.

Zu Querschnitten von Gefäßen passende Füllgraphen erstellen

Foto: A. Lambert

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Worum geht es bei Füllgraphen?

Füllgraphen werden oft genutzt, um Grundvorstellungen zu funktionalen Zusammenhängen zu erarbeiten und zu festigen. Dabei vernetzen sie räumliche Vorstellungen mit graphischen Darstellungen über funktionale Zusammenhänge. Bei den Aufgaben zu Füllgraphen wird meist - so auch hier - implizit vorausgesetzt, dass die im Querschnitt gezeichnet vorgegebenen Gefäße rotationssymmetrisch sind und sich gleichmäßig füllen. Die „Füll­ge­schwindig­keit“ im Sinne des pro Zeiteinheit hinzukommenden Flüssigkeitsvolumens ist also konstant.

Verbreitet sind die Aufgabenrichtungen „Skizziere einen Füllgraphen zum Gefäß“ und umgekehrt „Skizziere ein Gefäß zum Füllgraphen“ sowie die (weniger anspruchsvolle) Aufgabe „Ordne Gefäße und Füllgraphen einander zu“ (wie etwa in der LearningApp Füllgraphen zuordnen Anmerkung 1).

Gerade das Skizzieren von Füllgraphen kann - wenn man sich nicht mit vagen qualitativen Lösungen zufrieden gibt - mit geometrisch-funktionalen Argumenten zu genaueren Zeichnungen führen. 

Beispiele für geometrisch-funktionale Argumente

1. Bei einem Kreis wächst die Fläche quadratisch mit dem Radius. Besteht das Gefäß aus zwei aufeinander gesetzten Zylindern, dann können wir aus dem Verhältnis der Zylinder-Radien auch das zugehörige Steigungsverhältnis im stückweise linearen Füllgraphen be­stimmen. Das Ergebnis lässt sich auch ohne konkrete Achsenskalierung korrekt einzeichnen!

2. Der Flächeninhalt einer Kegelspitze ist winzig klein, also füllt diese sich über alle Maßen  schnell. Eine sinnvolle propädeutische Überlegung: Der Füllgraph müsste an dieser Stelle eine senkrechte Tangente aufweisen.

Eine Aufgabensequenz

Es geht darum, zu drei Gefäßen nacheinander die Füllgraphen zu ermitteln. Alle Gefäße sind im unteren Viertel der Gesamthöhe identisch, entsprechend ihre Füllgraphen.

Wir argumentieren im Folgenden in Abhängigkeit von der Füllzeit. Analog könnten wir mit dem dazu proportionalen Füllvolumen arbeiten, was in unteren Klassenstufen die naheliegende Variante ist: Diese lässt sich durch portionsweises Füllen geeigneter Gefäße leicht enaktiv realisieren – siehe (Lambert 2013) für ein Spiralcurriculum zum Thema Füllgraph.

Schauen wir uns nun zwei aufeinander gesetzte Zylinder genauer an. Wir beginnen mit dem einfachen Fall, dass beide Zylinder gleich hoch sind und der obere den halben Radius des unteren hat.

Erstes Gefäß: Zylinder auf Zylinder

Vervollständige den Füllgraphen zu Gefäß 1, dessen Querschnitt hier gezeigt ist:

Die zentrale zielführende Idee besteht darin, funktional zu argumentieren: Beide Zylinder haben die gleiche Höhe. Der obere hat den halben Radius des unteren, also fasst er – da die kreisförmige Zylindergrundfläche quadratisch mit dem Radius wächst – ein Viertel des Volumens des unteren, doppelt so breiten. Damit ist er in einem Viertel der Zeit gefüllt.

Was bedeutet das für den Füllgraphen? Da in acht (willkürlich hier durch die Kästchen definierten) Zeiteinheiten der untere Zylinder gefüllt ist, benötigen wir zum Füllen des oberen bis zur ganzen Höhe zwei weitere dieser Zeiteinheiten, um die noch notwendigen zwei weiteren Höheneinheiten zu erklimmen. (Hier kommt dann auch die Idee des Messens erfolgreich ins Spiel.) Den entsprechenden Zielpunkt können wir einzeichnen und den Füllgraphen durch die passende lineare Verbindung vervollständigen.

Die Steigung der stückweise linearen Füllfunktion haben wir hier nur implizit verwendet. Wir können alternativ auch explizit darauf zurückgreifen und ab dem Knickpunkt bis zur Gesamthöhe des Gefäßes einen Geradenabschnitt zeichnen, der die vierfache Steigung des vorhergehenden hat.

Die Aufgabe, einen passenden Funktionsgraphen zu Gefäß 1 zu zeichnen, lässt sich auch lösen, wenn allein der Zielpunkt gegeben ist:

Vervollständige den Füllgraphen zu Gefäß 1:

Dazu genügt es, in Anteilen zu denken. Der untere Zylinder hat viermal so viel Volumen wie der obere und damit 4/5 des Gesamtvolumens. Sein Füllen benötigt damit 4/5 der Gesamtzeit. Bei vorgegebenen 10 Kästchen entspricht dies 8 Kästchen.  Durch diese Einsicht gewinnen wir die Stelle des Knickpunkts, von dem wir durch die Form des Gefäßes wissen, dass er auf halber Höhe liegt.

Für die nächste Aufgabe zu einem zweiten Gefäß variieren wir nun die Zylinderhöhen und die Radien: Der untere Zylinder nimmt ein Viertel der Gesamthöhe ein, der Radius des oberen Zylinders beträgt ein Drittel jenes des unteren, wie sich aus dem Querschnitt ablesen lässt. (Diese Wahl bereitet bereits die dritte Aufgabe vor.)

Zweites Gefäß

Zeichne nun den Füllgraphen zu Gefäß 2:

 

Vergleichen wir die Situation mit der von Gefäß 1: Beide Gefäße sind im unteren Viertel der Gesamthöhe identisch und damit auch ihre Graphen im entsprechenden Bereich. Bei Gefäß 2 verjüngt sich der Radius auf ein Drittel, damit steigt die Höhe der Flüssigkeit dort im oberen Teil neunmal so schnell wie im unteren. Daraus ergibt sich die Steigung des zweiten Abschnitts des Füllgraphen. Dieser lässt sich so bis zur Gesamthöhe fortsetzen.

Wieder kann aber auch eine Anteilargumentation zum gewünschten Ziel führen: Das Volumen des oberen Zylinders beträgt ein Drittel jenes des unteren. Damit füllt sich der obere Teil in einem Drittel der Zeitspanne, die für den unteren benötigt wird. Diese Überlegung liefert uns wieder den Zielpunkt.

Drittes Gefäß

Schließlich ersetzen wir den oberen Zylinder durch einen ebenso hohen, auf dem unteren Zylinder bündig sitzenden Kegel.

Zeichne den Füllgraphen zu Gefäß 3: 

Auch dieses Gefäß ist im unteren Viertel der Gesamthöhe identisch mit Gefäß 1. Entsprechendes gilt für den zugehörigen Füllgraphen.

Sammeln wir also die Informationen zum weiteren Verlauf des Graphen:

  • Der Kegel hat die dreifache Höhe des Zylinders.
  • Daher haben der Zylinder und aufgesetzte Kegel das gleiche Volumen (!), sie füllen sich also in der gleichen Zeitspanne.

Das liefert uns also den Zeitpunkt der vollen Füllung.
Mit der bekannten (gleichen) Höhe des Gefäßes können wir so auch hier wieder den Zielpunkt in den Füllgraphen einzeichnen.

  • Der Kegel füllt sich immer schneller.
  • Die Spitze ist unendlich klein – daher füllt sich das Gefäß im letzten Augenblick unendlich schnell. Dort hat der Füllgraph eine senkrechte Tangente.
  • Der Durchmesser ändert sich stetig vom Zylinder zum Kegel – im Gegensatz zu der Situation bei zwei Zylindern. Daher haben wir hier keinen Knick im Füllgraphen.

Damit könnten wir bereits einen recht schönen Füllgraphen skizzieren, denn Start- und Zielsituation sind für das fehlende Füllgraphenstück geklärt.  Doch wie sieht es unterwegs aus? Gibt es  weitere nützliche Informationen?

Und tatsächlich geht funktional elementar sogar noch etwas mehr: Die obere Hälfte des Kegels ist ähnlich zum ganzen Kegel. Und damit ist das Volumen der oberen Kegelhälfte (wegen des kubischen Zusammen­hangs) ein Achtel des Kegel-Gesamt­volumens. Daher benötigen wir zum Füllen der unteren Hälfte des Kegels 7/8 seiner Gesamtzeitspanne, kennen so einen weiteren Punkt auf dem Füllgraphen von Gefäß 3 und können unsere Skizze weiter verfeinern:   

Weiterdenken

An dieser Stelle lassen sich nun weitere Gefäßquerschnitte und zugehörige Füllgraphen diskutieren. Simulationen bieten dazu eine geeignete "Spielwiese", wie verschiedene GeoGebra-Animationen zeigen.

Ach so, wie sehen eigentlich die jeweiligen Füllgraphen aus, wenn man sich aus den gezeichnet vorgegebenen Querschnitten keine Rotationskörper denkt, sondern den geometrischen Körper durch eine Parallelverschiebung gleicher Tiefe erzeugt?

Anmerkung

1 Bei der Zuordnungsaufgabe (mit der LearningApp) finden sich auch Argumentationsanlässe im Unterricht, wenn man genau schaut: So sollten die Graphen von Gefäß 3 und 4 eigentlich über die gleiche Breite gehen, da die Körper gleiches Volumen haben. Die Graphen zu Gefäß 2, 5 und 6 dürfen keinen Knick haben, da die Radienänderung jeweils stetig erfolgt. 

Literatur

Lambert, A. (2013):  Zeitgemäße Stoffdidaktik am Beispiel "Füllgraph". – In: Greefrath/Käpnik/Stein (Hrsg.): Beiträge zum Mathematikunterricht 2013. WTM Münster.

Weiterlesen

Wege zur Analysis - Sammelband mathematik lehren 

So funktioniert´s - Mathematik 5-10 Heft und Materialpaket Nr. 30 (2015)

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