Wochentage und SchaltjahreVerflixte Freitage! Wie oft gibt´s sie?

Am Freitag beginnt das Wochenende - wie schön! Und allen Statistiken zur Folge ist auch die Kalender-Ansage "Freitag, der 13." unbedenklich. Doch wie häufig kommt das eigentlich vor?

Luftballon mit Schriftzug

Foto: gzukrigl/Pixabay CC0 Creative Commons

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Abergläubische Menschen haben Angst vor der Zahl 13. Noch ängstlicher sind sie an Freitagen, die auf den Dreizehnten eines Monats fallen. (Nebenbei bemerkt: Die Angst vor der 13 trägt den Namen Triskaidekaphobie, die Angst vor Freitag, dem 13. wird Paraskavedekatriaphobie genannt.)

Nun gibt es in jedem Jahr mindestens einen „Freitag, den Dreizehnten“ – doch mehr als dreimal pro Jahr kommt dieses Ereignis nicht vor.

Um dies zu zeigen, hilft ein systematischer Überblick, auf welche Wochentage der 13. eines Monats fallen kann. Das geht zum Beispiel mit einer Tabelle, in der jedem Monat des Jahres jeweils der Wochentag zugeordnet wird, auf den der 13. fällt. Schaltjahre müssen gesondert betrachtet werden.

Wie war das mit dem Schaltjahr?

Ein (gregorianisches) Kalenderjahr hat in der Regel 365 Tage. Lässt sich die Jahreszahl durch 4 teilen, dann wird noch ein Schalttag hinzugefügt; mit der Doppel-Ausnahme: Wenn sich die Jahreszahl durch 100 teilen lässt, entfällt dieser Schalttag – außer die Jahreszahl lässt sich durch 400 teilen. Dieser Rhythmus wiederholt sich also alle 400 Jahre.
Was bedeutet dies nun für die Verteilung der Wochentage übers Jahr?
Es gibt 7 Wochentage (eine Woche hat 7 Tage). In ein Jahr passen 52 Wochen und 1 bzw. im Schaltjahr 2 Tage. Die Wochentage verschieben sich also jedes Jahr um 1 bzw. 2 Tage. In 400 Jahren verschieben sich die Wochentage also um 400 + 97 = 497 Tage – das sind genau 71 Wochen. (Auf die 97 Tage kommt man, weil die Jahre 1 bis 100, 101 bis 200 und 201 bis 300 je 24 Schalttage haben und es 25 Schalttage in der Zeitspanne 301 bis 400 sind. Oder über 100 – 4 + 1.)  Das bedeutet, dass sich alle 400 Jahre die Jahres-Kalender-Wochentage exakt wiederholen. Nach 400 Jahren wäre also zum Beispiel der 1.1. wieder ein Sonntag (wie im Jahre 2017) und dann der 13.1. wieder ein Freitag.

Wie sind die Neujahrstage verteilt?

Stimmt es, dass der Sonntag als Neujahrstag besonders oft vorkommt? Ein normales Jahr hat 365 Tage, und wenn der Neujahrstag auf einen Montag fällt, dann muss der Neujahrstag des folgenden Jahres auf einen Dienstag fallen: 365 = 52 · 7 + 1. So verschiebt sich der Wochentag, auf den der Neujahrstag fällt, also von Jahr zu Jahr um einen Tag. Allerdings: Nach einem Schaltjahr verschiebt sich dieser entsprechend um zwei Wochentage gegenüber dem Neujahrstag des Vorjahres: 366 = 52 · 7 + 2. Diese Verschieberei gilt natürlich auch für den Wochentag, auf den mein Geburtstag fällt.

Übrigens: Wer nicht lange zu einem bestimmten Datum den zugehörigen Wochentag berechnen will, kann sich das auch direkt im Internet ermitteln und anzeigen lassen, zum Beispiel hier .

Nun kann man fleißig jedem Jahr den Wochentag seines 1. Januar auflisten. In einer passenden Tabelle (jeder Wochentag bekommt eine Spalte) wird das Muster gut sichtbar. Dabei lässt sich feststellen: Vom Jahr 2001 bis zum Jahr 2028 treten alle Wochentage gleich oft (genau 4-mal) als Neujahrstage auf. Daraus folgt, dass auch von 2001 bis 2084 alle Wochentage gleich oft als Neujahrstage vorkommen (Warum?).

Machen wir den Zeitraum größer: Wie sieht die Verteilung der Neujahrs-Wochentage von 2001 bis 2100 aus? Da das Jahr 2028 ein Schaltjahr ist, verschiebt sich der Neujahrstag des Jahres 2029 wieder auf einen Montag. Daher beginnt hier wieder der gleiche Wochentags-Zyklus wie im Jahr 2001. Das gleiche gilt für den Zeitraum von 2057 bis 2084. Da das Jahr 2100 kein Schaltjahr ist (Ausnahmeregel), kommt dann die gleichmäßige Verteilung der Wochentage erstmals „aus dem Takt“.

Insgesamt ergibt sich für die Neujahrstage des Jahrhunderts von 2001 bis 2100 je 14-mal die Wochentage Montag, Mittwoch, Freitag, Samstag und Sonntag, je 15-mal die Wochentage Dienstag und Donnerstag.

Und die Verteilung von 2001 bis 2400 für die Wochentage des 1. Januar liefert 56-mal Montag und Samstag, 57-mal Mittwoch und Donnerstag sowie 58-mal Dienstag, Freitag und Sonntag.

Und wie sind Monats-Dreizehnte verteilt?

Wie häufig fällt nun der Monats-Dreizehnte auf einen Freitag?
Dies könnte man entsprechend durchmustern. Alle 400 Jahre wiederholt sich ja der Kalender-Rhythmus, das sind 400 · 12 Monats-Dreizehnte. Doch 400 · 12 lässt sich nur mit Rest durch 7 teilen – deshalb fallen die Monats-Dreizehnte jedenfalls nicht gleichmäßig auf alle Wochentage. 
Bleibt also die Frage, ob „Freitag, der 13.“ nun überdurchschnittlich häufig ist oder nicht – auf geht's ...

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Literatur

Wilfried Herget, Heinz Klaus Strick: Die etwas andere Aufgabe 2 - Mathe mit Pfiff. Friedrich Verlag 2012

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