WhatsApp und das exponentielle Wachstum5 als Weiterleitungs-Limit – bringt das was?

Weltweit können WhatsApp-User eine Nachricht nur noch an maximal fünf Kontakte weiterleiten. So soll die rasante Verbreitung von Fehlinformationen (Fake-News) unterbunden werden. Eine aktuelle Gelegenheit, die mathematische Brille aufzusetzen und genauer hinzuschauen ...

Handy versendet Briefe

Foto: Geralt/Pixabay CC0

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Die Meldung schaffte es sogar bis in die Tagesschau: Weltweit schränkt WhatsApp die Weiterleitungsfunktion von 20 Kontakten auf 5 Kontakte ein. Das Ziel ist klar – Falschnachrichten und Hetz-Aufrufe sollen langsamer verbreitet werden. Doch wie groß ist der Effekt wirklich? Warum wurde die Anzahl 5 gewählt (und nicht 3 oder 10)? 

Lineares und Exponentielles Wachstum

Der Alltagskontext ist für Schülerinnen und Schüler sicherlich sehr relevant. Vermutlich nutzen viele diesen Messenger-Dienst. Und wahrscheinlich sind einige von ihnen auch schon mit (freundlichen oder bedrohlichen) Kettenbriefen via WhatsApp in Kontakt gekommen. Wie schnell verbreiten sich diese? Im Kontext funktionaler Zusammenhang lassen sich hierzu Übungsaufgaben formulieren, hier ein paar erste Ideen:

  • Nur Anna und Ben haben im Internet ein lustiges Mathe-Foto entdeckt und verbreiten es via WhatsApp. Sie leiten es jeden Tag an gleich viele Nutzer weiter. Wie viele Tage wird es dauern, bis alle ihre Kontakte (zusammen 380) das Foto erhalten haben? Welcher Funktionstyp beschreibt in diesem Fall den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Informierten (N) und der Anzahl der Tage (t)? 
    (Lösung: N = m · t + 2, wobei m nun maximal 5 ist. Natürlich nur, wenn niemand seinerseits das Foto wieder weiterleitet!)
  • Normalerweise leitet jeder, der das Foto erhält, dieses auch an (vermutlich) "Unkundige" weiter. Angenommen, jeder und jede leitet das Bild weiter – ist es realistisch, dass dann die Anzahl N der informierten Personen exponentiell zunimmt? 
    (Lösung: Die Anzahl der Personen, an die das Bild weitergeleitet wird und für die es neu ist, wird von mal zu mal eher kleiner. Daher liegt kaum ein exponentielles Wachstum vor.)
  • Gehe zum Beispiel von einer Verbreitung des Fotos gemäß der Gleichung N = 2 · 3t aus. Was bedeutet in diesem Zusammenhang der Faktor 2, was die Basis 3? 
    (Lösung: Anfangs kennen das Bild zwei Personen, jeder leite das Bild dann täglich an 3 Kontakte – die das Foto noch nicht kennen – weiter.)

Hier finden Sie die Aufgaben auch als Arbeitsblatt.

Wie wird das Phänomen mathematisch fassbar?

Exponentielles Wachstum ist ja bekanntlich "unvorstellbar schnell". Um dies in den Ansätzen zu erfassen, können die ersten Zahlenwerte ausgerechnet werden. Ein Baumdiagramm visualisiert ebenfalls sehr eindrücklich, wie die von einem Handy ausgehende Nachrichtenwelle sich verbreiten kann. Dieser Zusammenhang lässt sich mit der geometrischen Zahlenfolge (an+1 = an · qn mit einem Startwert a0 und dem immer gleichen Faktor q) bzw. der geometrischen Reihe, d.h. der Folge ihrer Partialsummen (sna0 + a1 + a2a3  + ... + an = a0 + a· q + a· q2 + ... + a· qn) beschreiben.
Wie lässt sich leicht die n-te Teilsumme sn berechnen? Der Trick liegt darin, die Gleichung für sn mit q zu multiplizieren und von diesem Ergebnis wieder sn zu subtrahieren: s· q  sn = a0· qn  a0.  Dies liefert direkt sn = a0· (qn 1) : (1).  
Ach ja: Was bedeuten diese Variablen und Terme nun konkret für den WhatsApp-Versand einer Nachricht oder eines Fotos?

Medienkompetenz 

Vermutlich wird im Gespräch sehr schnell klar: Die Beschränkung hat kaum einen Effekt und die Wirklichkeit ist wieder einmal komplexer als die mathematische Modellierung. Die Beschränkung gilt ja pro Chat, und darunter sind neben Einzelpersonen eben auch der WhatsApp-Chat einer (größeren) WhatsApp-Gruppe. Und wer wirklich etwas im Internet verbreiten möchte, hat viele Wege oder eben mehrere Klicks, um die bisherige Reichweite zu erzielen. Auch unbedachte Posts können sich rasend schnell ausbreiten. Einmal abgeschickt, haben ja viele Personen Zugriff darauf (auch hier machen konkrete Zahlen das Ausmaß anschaulich). 
Wichtig ist, Kinder und Jungendliche auch über die Schattenseiten der schnellen digitalen Kommunikation zu informieren. Dann haben Kettenbriefe mit absurden Drohungen weniger Chancen, einzuschüchtern oder verbreitet zu werden.
Der WDR hat hier einige Hinweise zu dem Thema Kettenbriefe und Drohungen per WhatsApp zusammengestellt, unter anderem den aufklärenden Film "Die Story - Wie uns soziale Medien abhängig machen" (ca. 44 Min.). Wie viel Zeit Schülerinnen und Schüler durchschnittlich täglich Smartphone nutzen, ist ihnen meist noch klar. Konfrontiert mit der hochgerechneten lebenslangen Zeit, sind sie konsterniert. Und das Umstellen des Bildschirms auf den Schwarz-Weiß-Modus hat tatsächlich einen abturnenden Effekt. 

Literatur zum Weiterdenken

Unsere Welt wird zunehmend vernetzt. Angenommen, der Papst nutzt WhatsApp. Wird er das von Anna und Ben weitergeleitete Bild erhalten? Dahinter steckt das "Kleine-Welt-Phänomen" (Hischer, 2015): Mithilfe der Graphentheorie lässt sich genauer untersuchen, über wie viele "Ecken" man mit irgendjemandem bekannt ist. So kann ermittelt werden, wie viele Klicks zwei Webseiten im World Wide Web (WWW) voneinander entfernt liegen (2004 waren es typischerweise 19 Klicks).
Hischer, H. (2015): Eine überraschende Eigenschaft großer realer Netzwerke. "Kleine Welten" – ein recherchierbares Phänomen. – In: mathematik lehren, Heft 189 Digitale Medien nutzen, S. 43 - 45.

Gruppen bilden, Freunde finden, Seiten „liken“, andere Nutzer empfehlen oder ihnen folgen – soziale Netzwerke führen zu unterschiedlichen Beziehungen zwischen ihren Nutzern. Wie solche Beziehungsstrukturen (Relationen) tatsächlich gehandhabt werden oder welche Aktivitäten eines Nutzers weitere, nicht bewusst gewählte Konsequenzen haben, wird selten von den Anbietern diese Dienste offengelegt. Dieser Kontext bietet die Chance, grundlegende Begriffe der Algebra und Logik genauer zu durchdringen, wie der Beitrag von Johanna Heitzer Relationen in sozialen Netzwerken zeigt. 
Heitzer, J. (2017): Relationen in sozialen Netzwerken – In: mathematik lehren, Heft 202 Algebra. Strukturen erkennen und nutzen, S. 27 - 30.

Nachtrag

Was passieren kann, wenn man auf Spam-E-Mails intelligent/provokant antwortet, hat der britische Comedian James Veitch in seinem kurzen, sehr unterhaltsamen Vortrag vorgestellt (in der Reihe TED-Talk, auf englisch mit deutschen Untertiteln). 
Das Mathe-Foto entdeckte Heinz-Klaus Strick im Internet – vielen Dank für den Hinweis!

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