Räumliches Vorstellungsvermögen schulenWas passt durchs Eckige und durchs Runde?

Öfter mal die Perspektive wechseln - das ist nicht nur beim Mathematik treiben und Problemlösen hilfreich. Um die Aufgabe zu lösen, die hinter dem Logo des Bundeswettbewerbs Mathematik steckt, dürfen Sie die Anregung sogar wörtlich nehmen. Ob kopfgeometrische Vorstellungen, Skizzen oder Experimente - es gibt viele Wege zur Lösung.

Ein Quadrat, ein Kreis und ein gleichseitiges Dreieck bilden das Logo für den Bundeswettbewerb Mathematik

Grafik: Bundeswettbewerb Mathematik https://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm

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Das Logo des Bundeswettbewerbs für Mathematik (links im Bild) wirkt durch die klaren Formen und Farben und könnte stilistisch zur Konkreten Kunst oder zum Bauhaus-Stil passen. Doch der Bundeswettbewerb Mathematik findet erst seit 1970 statt. Tatsächlich verbirgt sich hinter dem Logo eine herausfordernde mathematische Aufgabe: 

  • Es gibt einen dreidimensionalen Körper, den man nacheinander durch das ausgestanzte Dreieck, den Kreis und das Quadrat schieben kann und der die Öffnung jeweils genau ausfüllt.
    Wie sieht dieser Körper aus?

Unvorstellbar? Geben Sie nicht auf! Überlegen Sie zunächst selbst – es lohnt sich. Wirklich! Wenn Sie Ihre Klasse knobeln lassen möchten, finden Sie hier unser entsprechendes Arbeitsblatt.

Etwas Kopfgeometrie

Die Aufgabe erinnert an die Zuordnungsspiele für Kleinkinder, bei denen Würfel, Prismen oder Zylinder gegeben sind, die durch eine quadratische, dreieckige oder runde Öffnung passen. Das ist "kinderleicht" – und hier liegt auch schon der erste Ansatz: Man kann zum Beispiel mit einem entsprechenden Zylinder beginnen. Nun sind noch zwei weitere Bedingungen zu erfüllen. Durch systematisches Arbeiten kann man sich dem gesuchten Objekt annähern.
Wenn die Höhe des Zylinders genauso groß ist wie sein Durchmesser, dann passt der Zylinder auch durch die quadratische Öffnung.
Und wie passt er nun durch das Dreieck? Dieses ist gleichschenklig, mit gleicher Basis und Höhe. Gönnen Sie sich eine kleine Lesepause, stellen sich die Situation vor, überlegen Sie selbst – es lohnt sich, wirklich. 
Stellen Sie nun in Gedanken den Zylinder aufrecht hin. Wenn Sie ihn genau von der Seite betrachten, sehen Sie ein Quadrat. In dieses legen Sie gedanklich ein Dreieck. Damit der Zylinder dort durchpasst, wird der Zylinder nun seitlich schräg abgeschnitten. Der so entstandene Körper sieht nun von der einen Seite aus wie ein gleichschenkliges Dreieck, und um 90° gedreht immer noch wie ein Quadrat. Und von oben immer noch wie ein Kreis.

Zeichnung und Modell – ikonisch und enaktiv

Zur visuellen Unterstützung sind Skizzen und Modelle bei dieser Aufgabe hilfreich. Man kann Schrägbilder dabei üben oder aus Knete einen entsprechenden Körper modellieren. Dieser Körper hat unterschiedliche Namen, bekannt ist er vor allem als Pólya-Stöpsel, benannt nach dem ungarischen Mathematiker George Pólya. Dabei geht der Körper schon auf den berliner Spielzeughändler Peter Friedrich Catel (1747-1791) zurück. Im Englischen hat sich der Begriff Cork Plug eingebürgert.
So sieht er aus: Bild.
Sein Volumen lässt sich – wenn man nicht die experimentelle Überlaufmethode (Wasser-Verdrängung) nutzen möchte – ebenfalls berechnen: V = 1/3 ∙ (3∙Pi - 4) ∙ hr2 . Wer sich für die elementare Berechnung auch der Zylindersegmente interessiert, findet bei den Mathematischen Basteleien zum Zylinder von Jürgen Köller eine gute Erklärung. 

Weiterknobeln 

Sie möchten Ihr flexibles räumliches Denken gleich noch einmal erproben? Dann haben wir ein weiteres Rätsel: Welcher Körper passt durch einen Kreis, ein Quadrat und ein Kreuz? Stellen Sie sich die Figuren vor ... Ein entsprechendes Arbeitsblatt finden Sie hier.
Sie können natürlich auch andere Querschnitte wählen, etwa das Mittenviereck des Quadrats (hier) oder vielleicht das Quadrat durch ein Rechteck ersetzen (hier) oder ... 

Talente fördern: Bundeswettbewerb Mathematik

Das Aufgabenblatt für die aktuelle erste Runde steht auf der Hompage des Bundeswettbewerbs Mathematik zum Download zur Verfügung – der Bearbeitungszeitraum endet am 4. März 2019. Wer erst einmal im Aufgabenarchiv stöbern möchte, kann dies hier tun. Wenn man bis unten scrollt, findet man dort die Aufgaben und Lösungen bis 1999.

Literatur

Langemann, H.-H./Quassier, E./Sprecht, E. (Hrsg.): Bundeswettbewerb Mathematik. Die schönsten Aufgaben. Springer Verlag, Heidelberg 2016, S. 299.

Dambeck, H./Niestedt, M.: Traumfigur gesucht. Dreieckig, rund und quadratisch zugleich - kann es einen solchen dreidimensionalen Körper geben? - Spiegel Online, 26. 5.2018  (hier)

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