Algebra unterrichtenZahlen, Symbole, Variablen und Terme

Kaum tauchen Buchstaben auf, wird Mathe für manche kompliziert. Dabei sind Variablen und Terme doch nützliche „Vereinfachungs-Werkzeuge“, die in der gesamten Schulzeit vorkommen. Wie lässt sich der Umgang mit algebraischen Strukturen lernen – und welche Vorstellungen sind dazu wichtig?

Vom Muster zum Term

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Mit Variablen und Termen hält ein Stück „reine“ Mathematik Einzug in den Unterricht: Wo es bisher um konkretes Rechnen mit Alltagsbezug ging – sei es beim Sachrechnen mit den Grundrechenarten, bei geometrischen Objekten, beim Dreisatz oder bei der Prozentrechnung – erfolgt nun der Schritt in die Abstraktion und für viele wird die Schulmathematik „abgehoben und leer“. Dabei ermöglichen Variablen und Terme eine eindeutige, genaue und sehr knappe symbolische Darstellung für (mathematische) Sachverhalte, bei denen auf sprachlicher Ebene viele Sätze nötig wären.

Was ist denn nun a? Grundvorstellungen zu Variablen

Eine Schwierigkeit im Umgang mit Variablen liegt in den vielfältigen Möglichkeiten, die der Umgang mit ihnen bietet. Anders als im Alltag sind Variablen keine Abkürzungen für irgendwelche Dinge. Eine Variable ist letztlich ein Platzhalter für eine Zahl, für mehrere Zahlen, für alle Zahlen oder auch für einen Term. Sie wird mit Buchstaben bezeichnet. Man kann Werte einsetzen (Einsetzungsaspekt) oder mit den Variablen rechnen (Kalkülaspekt). Variablen werden genutzt, um damit etwas zu beschreiben (Gegenstandsaspekt). Die unterschiedlichen Vorstellungen des Variablenbegriffs (wie auch die unterschiedlichen Bedeutungen von Termen und Gleichungen) gilt es, im Unterricht in den Blick zu nehmen.

  • Die Variable als Unbekannte: Die Variable steht für eine zu ermittelnde Zahl. Der Wert für die Variable ist so zu bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist und eine wahre Aussage entsteht. Beispiel: 5a + 3 = 13
  • Die Variable als allgemeine Zahl (bzw. als Unbestimmte): Diese Grundvorstellung liegt bei der allgemeinen Beschreibung eines Rechengesetzes oder einer geometrischen Formel vor. Für die Variablen können beliebige, aber sinnvolle Zahlen eingesetzt werden. Beispiele: (a + b)2 = a2 + 2ab+ b2            A= ½ gh 
  • Die Variable als Veränderliche: Diese Grundvorstellung kommt bei allen funktionalen Beziehungen vor, die durch Gleichungen beschrieben werden können. Für die in der Regel mit x bezeichnete Funktionsvariable können dann alle Elemente des Definitionsbereichs eingesetzt werden. Tritt eine Variable als Veränderliche auf, ist meist eine zweite davon abhängige Variable im Spiel (bei Funktionen y oder f(x) genannt). Beispiele: f(x) = 3x + 5 oder auch fa(x) = ax2 (hier mit Parameter a).

Gleichungen aufstellen, umformen und lösen

Beim Lösen von Textaufgaben, Modellierungen, Rätseln - kurz "Problemen" hilft es oft, Gleichungen aufzustellen und zu lösen. Dazu müssen die Schülerinnen und Schüler aber sicher mit Termen und Gleichungen umgehen können. Und so manche Schwierigkeit sollte auch im Unterricht nicht verschwiegen werden. Ein klassisches Beispiel: Auf eine Wiese stehen Schafe (S) und Ziegen (Z). Es sind fünfmal so viele Schafe wie Ziegen. Wie sieht eine Gleichung aus, die diese Situation beschreibt? Oft wird die Gleichung 5S = Z notiert, und so dem Satzbau folgend genau die umgekehrte Situation beschrieben: Jetzt wären fünf Mal so viele Ziegen wie Schafe auf der Wiese. Die Ungleichheit kann also nur durch eine Umkehrung in eine Gleichheitsrelation verwandelt werden: S = 5Z (vgl. Schmidt 2009).  

Der Weg zum Aufstellen und Lösen von Gleichungen beinhaltet eine Lernentwicklung. Zunächst geht es darum, die Bedeutung des Gleichheitszeichens zu erfassen (es kann eine Aufforderung zum Rechnen sein, ein Relationszeichen oder als Definitionszeichen genutzt werden). Rechenausdrücke zur Beschreibung realer Situationen werden aufgestellt ("Zu zwei Hunden gesellen sich drei Hunde dazu ..."). Erste Wege zum Bestimmen einer Unbekannten werden beschritten, die Äquivalenz in Rechenausdrücken wird erkannt. Ein Term wird nicht mehr nur als Rechenausdruck wahrgenommen, sondern Termstrukturen und Zusammenhänge zwischen Operationen sowie die Umkehroperation als eine Lösungsstrategie werden erkannt. Die Struktur algebraischer Ausdrücke wird erfasst und das Rückwärtrechnen als hilfreiche Strategie genutzt. Schließlich werden Gleichungen durch systematisches Umformen ("auf beiden Seiten dieselbe Operation ausführen") gelöst (vgl. Stacey 2011), ggf. mithilfe einer Substitution. Gleichungen lassen sich nicht immer Lösen, sie können genau eine, genau zwei, drei, ... oder auch beliebig viele Lösungen haben. 

Im Unterricht hat sich unter anderem der Weg vom Zahlenrätsel zur Gleichung bewährt (Hesse 2011): Denke dir eine Zahl, addiere 3, multipliziere mit 2, subtrahiere 6. Ausgehend von einer möglicherweise gedachten Zahl x lässt sich ein Term entwickeln, der vereinfacht werden kann - so wird deutlich, wie die gedachte Zahl schnell "geraten" wird. Hier muss das genannte Ergebnis durch 2 dividiert werden.

Für einen flexiblen Umgang mit Gleichungen ist auch immer wieder der Darstellungswechsel wichtig: Tabellen, Situationen, Gleichungen und Schaubilder sollen einander zugeordnet bzw. von der einen Darstellungsart in die andere gebracht werden.

Literatur

Barzel, B./Herget, W.: Zahlen, Symbole, Variablen - abstrakt und konkret. Plädoyer für einen lebendigen Umgang mit Termen. In: mathematik lehren, Heft 136, S. 4 - 9.

Barzel, B./Holzäpfel, L.: Strukturen als Basis der Algebra. In: mathematik lehren, Heft 202, S. 2 - 9.

Hesse, D.: Gedankenlesen - keine Zauberei. In: mathematik lehren, Heft 169, S. 16 - 20.

Schmidt, W.: Variablen, Terme, Gleichungen. In: Mathematik 5-10, Heft 6, Friedrich-Verlag, S. 4 - 5.

Stacey, K.: Eine Reise über die Jahrgänge. Vom Rechenausdruck zum Lösen von Gleichungen. In: mathematik lehren, Heft 169, S. 6 - 12.

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